Factor d'integració

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma:

on és una funció desconeguda de , i i són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció . Es multipliquen ambdues bandes de (1) per

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

I això es pot integrar,

on és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per

Tanmateix, per resoldre explícitament per es necessita trobar l'expressió de Es pot deduir de (2) que obeeix l'equació diferencial

Per aconseguir , es divideixen les dues bandes per

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

Es pot veure que multiplicar per i la propietat són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).

Exemple[modifica | modifica el codi]

Donada l'equació diferencial

Es pot observar que en aquest cas

Multiplicant ambdues bandes per s'obté

o bé

que dóna

Vegeu també[modifica | modifica el codi]