Funció de correlació (teoria quàntica de camps)

En la teoria quàntica de camps, les funcions de correlació, sovint conegudes com a correladors o funcions de Green, són valors d'expectativa de buit dels productes ordenats en el temps dels operadors de camp. Són un objecte d'estudi clau en la teoria quàntica de camps on es poden utilitzar per calcular diversos observables com els elements de la matriu S. Estan estretament relacionats amb les funcions de correlació entre variables aleatòries, encara que no obstant això són objectes diferents, que es defineixen en l'espai-temps de Minkowski i en els operadors quàntics.

Definició

Per a una teoria de camps escalar amb un sol camp $\phi (x)$ i un estat de buit $|\Omega \rangle$ a cada esdeveniment (x) a l'espai-temps, la funció de correlació de n punts és el valor d'expectativa de buit dels productes ordenats en el temps de $n$ operadors de camp a la imatge de Heisenberg

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .$$

Aquí $T\{\cdots \}$ és l'operador d'ordenació temporal per al qual ordena els operadors de camp de manera que els operadors de camp de temps anteriors apareguin a la dreta dels operadors de camp de temps posteriors. En transformar els camps i estats en la imatge d'interacció, això es reescriu com

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},$$

on $|0\rangle$ és l'estat fonamental de la teoria lliure i $S[\phi ]$ és l'acció. En expansió $e^{iS[\phi ]}$ utilitzant la seva sèrie de Taylor, la funció de correlació de n punts es converteix en una suma de funcions de correlació d'imatges d'interacció que es poden avaluar utilitzant el teorema de Wick. Una manera esquemàtica de representar la suma resultant és mitjançant diagrames de Feynman, on cada terme es pot avaluar utilitzant les regles de Feynman de l'espai de posicions.

A connected Feynman diagram which contributes to the connected six-point correlation function.

A disconnected Feynman diagram which does not contribute to the connected six-point correlation function.

La sèrie de diagrames que sorgeixen de $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ és el conjunt de tots els diagrames de bombolles de buit, que són diagrames sense potes externes. Mentrestant, $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ve donada pel conjunt de tots els diagrames possibles amb exactament $n$ potes externes. Com que això també inclou diagrames desconnectats amb bombolles de buit, la suma es factoritza en (suma sobre tots els diagrames de bombolles) $\times$ (suma de tots els diagrames sense bombolles). Aleshores, el primer terme s'anul·la amb el factor de normalització al denominador, el que significa que la funció de correlació de n punts és la suma de tots els diagrames de Feynman excloent les bombolles de buit.

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.$$

Tot i que no inclou cap bombolla de buit, la suma inclou diagrames desconnectats, que són diagrames en què almenys una pota externa no està connectada a totes les altres potes externes a través d'algun camí connectat. L'exclusió d'aquests diagrames desconnectats defineix les funcions de correlació de n punts connectades

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}$$

Sovint és preferible treballar directament amb aquests, ja que contenen tota la informació que contenen les funcions de correlació completes, ja que qualsevol diagrama desconnectat és només un producte de diagrames connectats. Excloent altres conjunts de diagrames es poden definir altres funcions de correlació com ara funcions de correlació irreductibles d'una partícula.

En la formulació de la integral del camí, les funcions de correlació de n punts s'escriuen com a mitjana funcional

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.$$

Es poden avaluar mitjançant la funcionalitat de partició $Z[J]$ que actua com a funcional generador, amb $J$ sent un terme font, per a les funcions de correlació

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$

De la mateixa manera, es poden generar funcions de correlació connectades utilitzant $W[J]=-i\ln Z[J]$ com

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$