Funció zeta d'Igusa

En matemàtiques, una funció zeta d'Igusa és un tipus de funció generatriu, que compta el nombre de solucions d'una equació, mòdul p, p2, p3, i així successivament.

Definició

Per a un nombre primer $p$ sigui $K$ un cos p-àdic, és a dir, $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$, $R$ l'anell de valuació i $P$ l'ideal màxim. Per a $z\in K$ $\operatorname {ord} (z)$ expressa la valuació de $z$, $\mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}$, i $ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}$ per a un paràmetre uniformitzant $\pi$ de $R$.

Sigui $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ una funció de Schwartz-Bruhat, és a dir una funció constant local amb suport compacte i sigui $\chi$ un caràcter de $K*$.

En aquest cas s'associa un polinomi no constant $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ a la funció zeta d'Igusa

$Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

on $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ i $dx$ és una mesura de Haar normalitzada de manera que $R^{n}$ posseeix una mesura unitària.

Teorema d'Igusa

Junichi Igusa va demostrar que $Z_{\phi }(s,\chi )$ és una funció racional en $t=q^{-s}$.

La demostració utilitza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolució de singularitats. No obstant això, se sap molt poc, pel que fa a fórmules explícites. (Hi ha alguns resultats sobre les funcions zeta d'Igusa de varietats de Fermat).

Congruències mòdul potències de $P$

Per tant, sigui $\phi$ la funció característica de $R^{n}$ i $\chi$ el caràcter trivial. Fem $N_{i}$ el nombre de solucions de la congruència

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}$.

Llavors, la funció zeta d'Igusa

$Z(t)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx$

està relacionada amb les sèries de Poincaré

$P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }q^{-in}N_{i}t^{i}$

per

$P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.$

Referències

• Igusa, Jun-Ichi «Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types». Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1974, 268–269, 1974, p. 110–130. DOI: 10.1515/crll.1974.268-269.110.
• La informació per a aquest article ha estat presa de J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386 Arxivat 2007-08-07 a Wayback Machine.