Vés al contingut

Funció zeta d'Igusa

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, una funció zeta d'Igusa és un tipus de funció generatriu, que compta el nombre de solucions d'una equació, mòdul p, p2, p3, i així successivament.

Definició

[modifica]

Per a un nombre primer sigui un cos p-àdic, és a dir, , l'anell de valuació i l'ideal màxim. Per a expressa la valuació de , , i per a un paràmetre uniformitzant de .

Sigui una funció de Schwartz-Bruhat, és a dir una funció constant local amb suport compacte i sigui un caràcter de .

En aquest cas s'associa un polinomi no constant a la funció zeta d'Igusa

on i és una mesura de Haar normalitzada de manera que posseeix una mesura unitària.

Teorema d'Igusa

[modifica]

Junichi Igusa va demostrar que és una funció racional en .

La demostració utilitza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolució de singularitats. No obstant això, se sap molt poc, pel que fa a fórmules explícites. (Hi ha alguns resultats sobre les funcions zeta d'Igusa de varietats de Fermat).

Congruències mòdul potències de

[modifica]

Per tant, sigui la funció característica de i el caràcter trivial. Fem el nombre de solucions de la congruència

.

Llavors, la funció zeta d'Igusa

està relacionada amb les sèries de Poincaré

per

Referències

[modifica]