Vés al contingut

Iteració de Panjer

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La iteració de Panjer és un algorisme per calcular l'aproximació a la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria composta . on i són variables aleatòries i de tipus especials. En casos més generals la distribució de S és una distribució composta. La recursió per als casos especials considerats va ser introduïda en un article[1] de Harry Panjer (professor emèrit de la Universitat de Waterloo).[2] És molt utilitzat en ciències actuarials (vegeu també risc sistèmic).

Preliminars

[modifica]

Estem interessats en la variable aleatòria composta on i compleixen les condicions prèvies següents:

Distribució de la mida de la seqüència

[modifica]

Suposem que sigui i.i.d. i independent de . A més, han de ser distribuïts en una xarxa amb ample de xarxa .

En pràctica actuarial, s'obté per discretització de la funció de densitat de la seqüència (superior, inferior ...).

Distribució de números de la seqüència

[modifica]

El número de la seqüència N és una variable aleatòria, que es diu que té una «distribució de números de la seqüència», i que pot prendre valors 0, 1, 2, ..., etc. Per a la recursió de Panjer, la distribució de probabilitat de N ha de ser membre de la «classe Panjer», també coneguda com la classe (a, b, 0) de les distribucions. Aquesta classe consta de totes les variables aleatòries que compleixen la següent relació:

per a alguns i que compleixen . El valor inicial es determina de tal manera que

La recursió Panjer fa ús d'aquesta relació iterativa per especificar una manera recursiva de construir la distribució de probabilitat de S. En el següent denota la funció generatriu de probabilitat de N (per a això, vegeu la taula de classe (a, b, 0) de les distribucions).

En el cas del número de la seqüència, tingueu en compte l'algoritme De Pril.[3] Aquest algoritme és adequat per calcular la distribució de la suma de variables discretes aleatòries.[4]

Recursió

[modifica]

L'algorisme proporciona una recursió per calcular .

El valor inicial és amb els casos especials

i

i es procedeix amb

Exemple

[modifica]

El següent exemple mostra la densitat aproximada de on i amb ample de xarxa h = 0.04. (Vegeu distribució de Fréchet).

Com s'observa, pot sorgir un problema en la inicialització de la recursió. Guégan i Hassani (2009) han proposat una solució per abordar aquest tema.[5]

Referències

[modifica]
  1. Panjer, Harry H. «Recursive evaluation of a family of compound distributions.» ( PDF). ASTIN Bulletin. International Actuarial Association, 12, 1, 1981, pàg. 22–26.
  2. CV, actuaries.org; Staff page, math.uwaterloo.ca
  3. Vose Software Risk Wiki: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
  4. De Pril, N. «Improved approximations for the aggregate claims distribution of a life insurance portfolio». Scandinavian Actuarial Journal, 1988, 1988, pàg. 61. DOI: 10.1080/03461238.1988.10413837.
  5. Guégan, D.; Hassani, B.K. «A modified Panjer algorithm for operational risk capital calculations». Journal of Operational Risk, 4, 4, 2009, pàg. 53–72.

Enllaços externs

[modifica]
  • Iteració de Panjer i les distribucions amb què es pot utilitzar (anglès)