Llei de Grashof

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

La Llei de Grashof estableix que un mecanisme de quatre barres té almenys una articulació de revolució completa, si i només si la suma de les longituds de la barra més curta i la barra més llarga és menor o igual que la suma de les longituds de les barres restants.

Demostració[modifica]

Anàlisi d'una articulació de revolució completa[modifica]

Donat un mecanisme qualsevol de quatre barres ABCD consecutives, s'analitzés l'articulació AB. Es defineix com l'angle relatiu entre les barres A i B, com l'angle relatiu entre C i D, i com la distància entre les articulacions BC i AD.

Se sap que pel teorema del cosinus:

sent el cosinus una funció fitada superiorment per una, es pot afirmar llavors la següent inequació:

amb el desenvolupament del binomi del quadrat de la resta es dedueix (aplicant l'arrel quadrada als dos termes de la inequació):

Es pot observar també de l'anomenada desigualtat triangular que:

d'ambdues es dedueix:

Si se suposa que l'articulació AB és de revolució completa, llavors

Finalment, s'obtenen les relacions necessàries i suficients perquè l'articulació AB sigui de revolució completa:

.

Anàlisi d'un mecanisme de quatre barres de longituds diferents[modifica]

Es pren un mecanisme de quatre barres I, II, III i IV en qualsevol ordre tal que

(Els casos particulars s'analitzen més endavant)

Hipotèticament hi ha 6 tipus d'articulacions possibles: I * II, I * III, I * IV, II * III, II * IV i III * IV.

I de la relació (1) es desprenen:

I * II no és de revolució completa doncs (2). Anàlogament (3) i (4) impedeixen que I * III i II * III ho siguin.

Analitzant l'articulació I * IV es nota que és necessari i suficient que es compleixin (4) i

O equivalentment

O

Llavors són possibles articulacions de revolució completa: I * IV, doncs (4) i (5); II * IV, ja que (3) i (6), i III * IV, doncs (2) i (7).

Casos particulars[modifica]

I com a conseqüència l'única articulació que no és de revolució completa és la R * II

anàlogament es dedueix que si les barres són totes de la mateixa longitud totes les articulacions són de revolució completa.

Corolarios[modifica]

Si compleix (5) a més del teorema es compleix que:

  • Si les barres són totes diferents, llavors només hi ha dues articulacions de revolució completa i articulen a la barra més petita.
  • Si les barres són totes iguals, totes les articulacions són de revolució completa.
  • Si hi ha un parell de barres iguals, i el parell de barres més grans està articulat entre si, aleshores aquesta és l'única articulació de revolució incompleta.

Vegeu també[modifica]