Mecanisme de quatre barres

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Mecanisme de quatre barres.

A enginyeria mecànica un mecanisme de quatre barres o quadrilàter articulat és un mecanisme format per tres barres mòbils i una quarta barra fixa (per exemple, el sòl), unides mitjançant nusos articulats (unions de revoluta o pivots). Les barres mòbils estan unides a la fixa mitjançant pivots. Usualment les barres es numeren de la següent manera:

  • Barra 2. Barra que proporciona moviment al mecanisme.
  • Barra 3. Barra superior.
  • Barra 4. Barra que rep el moviment.
  • Barra 1. Barra imaginària que vincula la unió de revoluta de la barra 2 amb la unió de revoluta de la barra 4 amb el terra.

Llei de Grashof[modifica | modifica el codi]

Article principal: Llei de Grashof

La Llei de Grashof és una fórmula utilitzada per analitzar el tipus de moviment que farà el mecanisme de quatre barres: perquè existeixi un moviment continu entre les barres, la suma de la barra més curta i la barra més llarga no pot ser major que la suma de les barres restants.

Diferents mecanismes amb diferents resultats

Anàlisi de posició[modifica | modifica el codi]

Per mesures físiques fàcilment es poden tenir les longituds de les barres 1, 2, 3, 4. Ja que la barra 1 és estacionària, el seu angle és fix. Es diu que l'angle de la barra 2 respecte a l'horitzontal és una variable controladora. Per tant, les incògnites són els angles de les barres 3 i 4.

Equació vectorial:

 \bar l_2+\bar l_3 = \bar l_1+\bar l_4
 L_2 \cos \theta \_2i+l_2 \sin \theta \_2j+l_3 \cos \theta \_3i+l_3 \sin \theta \_3j = l_1 \cos \theta \_1i+l_1 \sin \theta \_1j+l_4 \cos \theta \_4i+l_4 \sin \theta \_4j

Separant les equacions en direcció "i" i direcció "j"

Equació en "i":  l_2 \cos \theta \_2+l_3 \cos \theta \_3 = l_1 \cos \theta \_1+l_4 \cos \theta \_4
Equació en "j":  l_2 \sin \theta \_2+l_3 \sin \theta \_3 = l_1 \sin \theta \_1+l_4 \sin \theta \_4

Com es coneixen l'angle de la barra 2 i l'angle de la barra 1, és possible simplificar realitzant els següents canvis de variable:

 A = l_2 \cos \theta \_2 - l_1 \cos \theta \_1
 B = l_2 \sin \theta \_2 - l_1 \sin \theta \_1

Amb la qual cosa queda el sistema d'equacions com:

 A+l_3 \cos \theta \_3 = l_4 \cos \theta \_4
 B+l_3 \sin \theta \_3 = l_4 \sin \theta \_4

En elevar els termes al quadrat i sumar les dues equacions, tenint en compte que  \cos^2 \theta \ +\sin^2 \theta \ = 1 , es simplifica de la següent manera:

 A^2+2Al_3 \cos \theta \_3+B^2+2Bl_3 \sin \theta \_3+l_3^2 = l_4^2
 A \cos \theta \_3+B \sin \theta \_3 = \frac{l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2}{2l_3}

És possible tornar a simplificar fent el següent canvi de variable:

 C = \frac{l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2}{2l_3}

Utilitzant les identitats trigonomètriques

 \sin \theta\ = \frac { 2 \tan \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ } ,  \cos \theta\ = \frac { 1 - \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ }

i substituint les identitats en l'equació:

 \frac{A \left (1 - \tan^2 \frac{1}{2}\theta \_3 \right)+B \left (2 \tan \frac{1}{2}\theta \_3 \right)}{1+\tan^2 \frac{1}{2}\theta \_3}= C

s'obté una equació quadràtica. En utilitzar la fórmula general per resoldre el sistema s'obté:

 \tan \frac{1}{2}\theta \_3 = \frac{B \pm \sqrt{A^2+B^2 - C^2}}{C+A}

El valor per l'angle de la barra 3 és el següent:

 \theta \_3 = 2 \tan^{-1} \left (\frac{B \pm \sqrt{A^2+B^2 - C^2}}{C+A}\right)

Per obtenir el valor de l'angle de la barra 4 és el mateix procediment, definint el següent canvi de variable:

 D = \frac{l_3^2 - l_4^2 - A^2 - B^2}{2l_4}

El valor de l'angle de la barra 4 resulta:

 \theta \_4 = 2 \tan^{-1} \left (\frac{B \pm \sqrt{A^2+B^2 - D^2}}{D+A}\right)

NOTA: els dos valors que es poden obtenir per a cada angle representen les diferents configuracions del sistema.

Anàlisi de velocitat[modifica | modifica el codi]

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode de la velocitat relativa

Dades d'entrada

  • L'única dada referit a velocitat que es coneix en un mecanisme de quatre barres és la velocitat angular de la barra 2.
  • Mitjançant una anàlisi prèvia de posició es coneix la informació de les barres.

Per a l'anàlisi es procedirà a buscar la velocitat del punt B (unió de la barra 3 i 4). Per a aquest punt hi ha dues trajectòries possibles: des  O_2 \, fins B i des  O_4 \, fins B. Per començar es defineix la velocitat de B pel que fa a la barra 4

 \bar V_B = \bar \omega \_4 \times \ \bar l_4 = \omega \_4 l_4 \cos \theta \_4 \hat j - \omega \_4 l_4 \sin \theta \_4 \hat i

Ara es definirà la velocitat del punt B respecte a l'altra trajectòria.

 \bar V_B = \bar V_{B|A}+\bar V_{A}= \bar \omega \_3 \times \ \bar l_3+\bar \omega \_2 \times \ \bar l_2

 \bar V_B = \omega \_3 l_3 \cos \theta \_3 \hat j - \omega \_3 l_3 \sin \theta \_3 \hat i+\omega \_2 l_2 \cos \theta \_2 \hat j - \omega \_2 l_2 \sin \theta \_2 \hat i

Igualant les equacions per  \bar V_B \, i separant els components, s'obté un sistema de dues equacions amb dues incògnites.

 \hat i \rightarrow - \omega \_4 l_4 \sin \theta \_4 = - \omega \_3 l_3 \sin \theta \_3 - \omega \_2 l_2 \sin \theta \_2

 \hat j \rightarrow \omega \_4 l_4 \cos \theta \_4 = \omega \_3 l_3 \cos \theta \_3+\omega \_2 l_2 \cos \theta \_2

Anàlisi d'acceleració[modifica | modifica el codi]

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode de acceleració relativa les fórmules són:

Simuladors gratuïts[modifica | modifica el codi]

de 4 Barres Gràfica la posició, velocitat i acceleració. (Només per a Windows)

Kima (R) v2.5 Suite de programes per a calcular la posició, velocitat i acceleració dels mecanismes: quatre barres, maneta corredissa i inversió tipus I de maneta corredissa. Funciona en mode interactiu i en mode paramètric, facilitant la interacció amb Matlab (R). Ús lliure per a fins acadèmics.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mecanisme de quatre barres Modifica l'enllaç a Wikidata