Matriu de transició d'estat

En teoria de control, la matriu de transició d'estat és una matriu que, multiplicada pel vector d'estat $x$ en un temps inicial $t_{0}$ dóna $x$ en un temps posterior $t$. Es pot utilitzar la matriu de transició d'estat per obtenir la solució general de sistemes dinàmics lineals.

Solució de sistemes lineals

S'utilitza la matriu de transició d'estat per trobar la solució de la representació en espai d'estats d'un sistema lineal de la forma

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,

on $\mathbf {x} (t)$ són els estats del sistema, $\mathbf {u} (t)$ és la senyal d'entrada, $\mathbf {A} (t)$ i $\mathbf {B} (t)$ són funcions matricials, i $\mathbf {x} _{0}$ és la condició inicial a $t_{0}$. Utilitzant la matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, la solució ve donada per:

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

El primer terme rep el nom de resposta amb entrada zero (zero-input response, en anglès) i representa com l'estat del sistema evoluciona en l'absència d'entrada. El segon terme es coneix com resposta amb estat zero (zero-state response, en anglès) i defineix com les entrades afecten en el sistema.

Sèrie de Peano–Baker

La matriu de transició més general ve donada per les sèries de Peano–Baker

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$

on $\mathbf {I}$ és la matriu identitat. Aquesta matriu convergeix uniformement i absoluta a una solució que existeix i que és única.

Altres propietats

La matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi }$ satisfà les següents relacions:

1. És contínua i té derivades contínues.

2, Mai no és singular; de fet $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ i $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$, on $I$ és la matriu identitat.

3. $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$ per tot $t$ .

4. $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$ per tot $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$.

5. Satisfà l'equació diferencial ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ amb condicions inicials $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$.

6. La matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, donada per

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

on la matriu, de dimensions $n\times n$, $\mathbf {U} (t)$ és la matriu fonamental que satisfà

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$ amb condició inicial $\mathbf {U} (t_{0})=I$.

7. Donat l'estat $\mathbf {x} (\tau )$ en qualsevol temps $\tau$, l'estat en qualsevol altre temps $t$ ve donat per la funció

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

Estimació de la matriu de transiió d'estat

En el cas invariant temporal, es pot definir $\mathbf {\Phi }$, utilitzant l'exponencial d'una matriu, com $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$.

En el cas variant temporal, la matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ pot ser estimada a partir de les solucions de l'equació diferencial ${\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)$ amb condicions inicials $\mathbf {u} (t_{0})$ donades per $[1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, $[0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, ..., $[0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}$. Les solucions corresponents proporcionen les $n$ columnes de la matriu $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$. Aquí, a partir de la propietat 4, $\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}$ per tot $t_{0}\leq \tau \leq t$. S'ha de determinar la matriu de transició d'estat abans que pugui continuar l'anàlisi de la solució variant temporal.

Bibliografia complementària

• Baake, M. «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, 2011, pàg. 155–159. DOI: 10.1134/S0081543811080098.
• Brogan, W.L.. Modern Control Theory. Prentice Hall, 1991. ISBN 0-13-589763-7.