Matriu fonamental (equació diferencial lineal)

En matemàtiques, una matriu fonamental d'un sistema de $n$ equacions diferencials ordinàries lineals homogènies

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$

és una funció matricial $\Psi (t)$ tal que les seves columnes són solucions linealment independents del sistema. A particir de $\Psi (t)$ es poden escriure totes les solucions del sistema com $\mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c}$, per a algun vector constant $\mathbf {c}$ (escrit com un vector de columna d'altura $n$).

Es pot demostrar que una funció matricial $\Psi$ és una matriu fonamental de ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$ si i només si ${\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)$ i $\Psi$ és una matriu invertible per a tot $t$.

Teoria del control

La matriu fonamental s'utilitza per expressar la matriu de transició d'estat, un component essencial en la solució d'un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals.