Nombre de Kaprekar

En matemàtiques, els nombres de Kaprekar són nombres naturals que satisfan la condició de que el seu quadrat es pot tallar en dos trossos que, sumats, donen el nombre original. Formalment, doncs, són nombres naturals, $k$, que satisfan les equacions:

$k=q+r$

$k^{2}=q\times 10^{n}+r$

Aquest nombres foren introduits el 1980 pel matemàtic indi D. R. Kaprekar.

Per exemple, $9$ és un nombre de Kaprekar perquè: $9^{2}=81$ i $9=8+1$: $45$ també ho és per $45^{2}=2025$ i $45=20+25$. Altres casos son més difícils de trobar: $538461^{2}=289940248521$ i $289940+248521=538461$. A continuació es mostren altres exemples:

Nombre	Quadrat	Descompossició
703	703² = 494209	494+209 = 703
2728	2728² = 7441984	744+1984 = 2728
5292	5292² = 28005264	28+005264 = 5292
857143	857143² = 734694122449	734694+122449 = 857143

La sèrie OEIS 6886 mostra tots els nombres de Kaprekar en base 10 elevats al quadrat.

Aquesta definició es pot generalitzar per a nombres naturals en qualsevol base i elevats a qualsevol potència definint una funció de Kaprekar, amb base $b>1$ i potència $p>0$, $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tal que:

$F_{p,b}(n)=\alpha +\beta$,

en la qual:

$\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}$ i

$\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}$

Bibliografia

• Benjamin, Elliot. Numberama: Recreational Number Theory In The School System (en anglès). Bentham Books, 2017. ISBN 978-1-68108-513-5. 
• Iannucci, Douglas E. «The Kaprekar Numbers» (en anglès). Journal of Integer Sequences, Vol. 3, 2000, pàg. 1-6. ISSN: 1530-7638.
• Strachan, Liz. Numbers are Forever (en anglès). Constable & Robinson, 2013. ISBN 978-1-47211-104-3. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Kaprekar Number». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 11 setembre 2021]. (anglès)
• «Kaprekar numbers». OEIS. [Consulta: 11 setembre 2021]. (anglès)