Polinomi de HOMFLY

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Polinomi HOMFLY)
Salta a: navegació, cerca

En matemàtiques, el polinomi de HOMFLY (conegut també com a polinomi de HOMFLYPT i com a polinomi de Jones generalitzat) és un invariant per nusos en forma de polinomi de dues variables, descobert l'any 1985.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

L'any 1991 Louis Kauffman donà una de les definicions formals més senzilles pel polinomi de HOMFLY:

Siguin un nus (o més generalment un enllaç) i siguin , i les relacions d'Skein -és a dir, variacions del seu diagrama en un únic encreuament assignats segons la taula següent-

Skein (HOMFLY).svg

Aleshores, es defineix el polinomi de HOMFLY de , , a partir de les següents igualtats:



on representa el nus trivial.[1] Gràcies a aquestes igualtats, el nus pot anar-se desfent de manera iterativa fins a aconseguir polinomis trivials.

Propietats[modifica | modifica el codi]

La principal propietat del polinomi de HOMFLY és que es tracta d'un invariant per nusos (és invariant per moviments de Reidemeister). És a dir, un mateix nus sempre tindrà el mateix polinomi de HOMFLY independentment del diagrama que es faci servir per calcular-lo. Ara bé, existeixen nusos diferents amb el mateix polinomi de HOMFLY (com per exemple els mutants de Kinoshita-Terasaka).

Una altra propietat interessant és que, sigui un nus o enllaç i sigui la seva imatge especular, es compleix .

Una de les propietats més belles del polinomi de HOMFLY és que el polinomi de la suma connexa de dos nusos és el producte dels polinomis dels nusos. Pel que fa a la unió disjunta de dos nusos o enllaços, es compleix que el polinomi de la unió és el producte dels polinomis multiplicat per un factor .[1]

Origen del nom[modifica | modifica el codi]

El nom HOMFLY neix de les inicials dels membres de l'equip que el descrigué per primera vegada: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter J. Freyd, W. B. R. Lickorish i David N. Yetter.[2] Sovint és conegut també com a polinomi HOMFLYPT en honor a Józef H. Przytycki i Paweł Traczyk, que hi treballaren de manera independent al primer equip.[3]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Weisstein, Eric W., «Polinomi de HOMFLY» a MathWorld (en anglès).
  2. Freyd, P.; Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. «A New Polynomial Invariant of Knots and Links». Bulletin of the American Mathematical Society, 12, 2, 1985, pàg. 239–246. DOI: 10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.
  3. Liu, Xin; Ricca, Renzo L. On the derivation of the HOMFLYPT polynomial invariant for fluid knots (en anglès), 22 octubre 2014. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]