Moviments de Reidemeister

Moviments de Reidemeister

1r moviment	2n moviment
3r moviment

En la teoria de nusos, els moviments de Reidemeister són els tres moviments locals possibles en un diagrama de nus, és a dir els tres canvis més simples possibles que deixen el diagrama mostrant una representació del mateix nus. si dos diagrames representen el mateix nus, pot passar-se d'un a l'altre via els moviments de Reidemeister.

Foren descoberts independentment per Kurt Reidemeister en 1926 i per J. W. Alexander i G. B. Briggs en 1927.

Cadascun dels moviments opera en una petita regió del diagrama. El primer moviment (també anomenat de tipus I) consisteix a girar o crear un bucle. El segon (o de tipus II) consisteix a desplaçar un tros de nus sense creuaments sobre un altre. Finalment el tercer (o de tipus III) consisteix a passar un tros de nus sense creuaments per sobre o per sota d'un creuament. La notació per tipus fa referència a quants fragments de nus o tires estan involucrades. La resta del diagrama no queda modificat per cap d'aquests moviments.

Entre els usos dels moviments de Reidemeister hi trobem tant el fet de poder trobar i identificar nusos equivalents a través dels seus diagrames com el fet de portar diagrames fins a la seva representació més simple. (Vegeu el Teorema de Reidemeister).

També són d'utilitat a l'hora de definir invariants per nusos a través dels diagrames. Demostrant que una propietat d'un diagrama no canvia en aplicar-hi cap dels moviments de Reidemeister queda demostrat que aquesta propietat és invariant per nusos. De fet, alguns invariants per nusos com el Polinomi de Jones poden definir-se d'aquesta manera.

Mentre que el primer i el segon moviments redueixen el nombre de creuaments del diagrama (en un i dos, respectivament), el tercer no ho fa. D'altra banda, el segon i el tercer moviments mantenen invariant l'entortellament, mentre que el primer el fa variar.

Referències

• J. W. Alexander; G. B. Briggs, On types of knotted curves. Ann. of Math. (2) 28 (1926/27), no. 1-4, 562–586. (anglès)
• Kurt Reidemeister, Elementare Begründung der Knotentheorie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1926), 24-32 (alemany)
• Bruce Trace, On the Reidemeister moves of a classical knot. Proc. Amer. Math. Soc. 89 (1983), no. 4, 722–724. (anglès)
• Tobias Hagge, Every Reidemeister move is needed for each knot type. Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), no. 1, 295–301. (anglès)
• Stefano Galatolo, On a problem in effective knot theory. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 9 (1998), no. 4, 299–306 (1999). (anglès)
• Lackenby, Marc «A polynomial upper bound on Reidemeister moves» (en anglès). Annals of Mathematics, 183, 2, 2015, p. 491-564. DOI: 10.4007/annals.2015.182.2.3.
• Hass, Joel; Lagarias, Jeffrey C. «The number of Reidemeister moves needed for unknotting» (en anglès). Journal of the American Mathematical Society, 14, 2, 2001, p. 399–428. DOI: 10.1090/S0894-0347-01-00358-7.
• Chuichiro Hayashi, The number of Reidemeister moves for splitting a link. Math. Ann. 332 (2005), no. 2, 239–252. (anglès)
• Adams, Colin C. The Knot Book (en anglès). 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Moviments de Reidemeister