Vés al contingut

Radi espectral

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Si és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex , hom anomena radi espectral de , denotat , el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de . Sempre té un valor inferior o igual a la norma operacional de .

En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes , el radi espectral és igual a .

En conseqüència, per a tota norma matricial N, és a dir, per a tota àlgebra normada sobre (respectivament ) i per a tota matriu A de (respectivament ), es té que .

A més, hem demostrat que , la fita inferior presa sobre el conjunt de les normes subordinades, i d'aquí també sobre les àlgebres normades.

El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral d'un endomorfisme ve donat per la fórmula

.

Per un operador normal (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, .

El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu té un radi espectral 0, però , d'on (més precisament, perquè es té ).

Bibliografia

[modifica]
  • Lax, Peter D. Functional Analysis. Wiley-Interscience, 2002. ISBN 0-471-55604-1.  (anglès)

Vegeu també

[modifica]