Regla de Pascal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
No s'ha de confondre amb Principi de Pascal.

En matemàtiques, la regla de Pascal és una identitat combinatòria entre coeficients binomials. Estableix que per a qualsevol nombre natural n es té:

{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k}

On 1 \leq k < n i {n\choose k} és un coeficient binomial.

Demostració combinatòria[modifica | modifica el codi]

La regla de Pascal té un significat combinatori intuïtiu. Recardent que {a\choose b} és el nombre de formes en què es pot triar un subconjunt de b elements a partir d'un conjunt de a elements. Per tant, el cantó dret de la identitat {n\choose k} indica el nombre de formes en què es pot formar un subconjunt de k elements a partir d'un conjunt de n elements.

Ara, suposeu que es distingeix un element particular 'X' del conjunt de n elements. Així, cada cop que es trien k elements per a formar un subconjunt, hi ha dues possibilitats: X pertany al subconjunt escollit o no.

Si X pertany al subconjunt, en realitat només es necessiten triar k-1 objectes més dels n-1 objectes restants (donat que X serà segur al subconjunt). Això es pot fer de n-1\choose k-1 formes.

Quan X no és al subconjunt, cal triat tots els k elements a partir del subconjunt format pels n-1 objectes que no són X. Això es pot fer de n-1\choose k formes.

En conlusió el nombre de formes d'agafar un subconjunt de k objectes a partir d'un conjunt de n objectes, ( que és {n\choose k}), també és igual a {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}.

Demostració algebraica[modifica | modifica el codi]

S'ha de demostrar

 { n \choose k } + { n \choose k-1 }  =  { n+1 \choose k }

Es comença escribint el cantó de la dreta com a

 \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}

Reduint a comú denominador i simplificant s'obté

 \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}
 =  \frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}+\frac{kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}
 =  \frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}
 =  \frac{(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}
 =  \frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}
 =  { n+1 \choose k }

Vegeu també[modifica | modifica el codi]