Regla de Pascal

En matemàtiques, la regla de Pascal és una identitat combinatòria entre coeficients binomials. Estableix que per a qualsevol nombre natural n es té:

${n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}$

On $1\leq k<n$ i ${n \choose k}$ és un coeficient binomial.

Demostració combinatòria

La regla de Pascal té un significat combinatori intuïtiu. Recardent que ${a \choose b}$ és el nombre de formes en què es pot triar un subconjunt de b elements a partir d'un conjunt de a elements. Per tant, el cantó dret de la identitat ${n \choose k}$ indica el nombre de formes en què es pot formar un subconjunt de k elements a partir d'un conjunt de n elements.

Ara, suposeu que es distingeix un element particular 'X' del conjunt de n elements. Així, cada cop que es trien k elements per a formar un subconjunt, hi ha dues possibilitats: X pertany al subconjunt escollit o no.

Si X pertany al subconjunt, en realitat només es necessiten triar k-1 objectes més dels n-1 objectes restants (donat que X serà segur al subconjunt). Això es pot fer de $n-1 \choose k-1$ formes.

Quan X no és al subconjunt, cal triar tots els k elements a partir del subconjunt format pels n-1 objectes que no són X. Això es pot fer de $n-1 \choose k$ formes.

En conlusió el nombre de formes d'agafar un subconjunt de k objectes a partir d'un conjunt de n objectes, (que és ${n \choose k}$), també és igual a ${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$.

Demostració algebraica

S'ha de demostrar

${n \choose k}+{n \choose k-1}$ $=$ ${n+1 \choose k}$

Es comença escrivint el cantó de la dreta com a

${\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}$

Reduint a comú denominador i simplificant s'obté

${\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}$

$=$ ${\frac {(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}}+{\frac {kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}}$

$=$ ${\frac {(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}}$

$=$ ${\frac {(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}}$

$=$ ${\frac {(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}}$

$=$ ${n+1 \choose k}$

Vegeu també

• Triangle de Pascal