En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències
representant una funció diferent de
, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat
al voltant de
i, a la fi de la continuació, prengués la forma
és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?
La solució de Lewy[modifica]
En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.[1]
Es consideri la funció:
és holomorfa per
i pot ser continuada analíticament als semiplans
, de la manera següent: sigui
tal que
i fem
.
Escrivim, per a
,
![{\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f853651b9dda8d617ff783f450ccd94540aa03bf)
![{\displaystyle =\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9126f744b5a0822a1f5722c69905f6017e8662e1)
![{\displaystyle =\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62edc2789baff424b2a03787ef073b79559a084)
![{\displaystyle \ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f48be51f06767d6d6faaa1ae996b7f40f1a5ab0)
Aquesta darrera integral, que anomenem
, ha de ser calculada sobre la corba
definida en posar
.
Hom ha
per a unes constants reals positives
,
i
, car
tendeix a
quan
.
Així per a
hom ha
però aquesta darrera integral convergeix en
i, doncs, hi defineix una continuació analítica de
. Repetim el procediment
vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de
al semiplà
; així doncs,
pot ser continuada analíticament a tot punt
.
Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí
, obtenim, designant
l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de
) després una volta completa,
Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.