Separatriu

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtica, una separatriu és el límit fronterer que separa dos comportaments en una equació diferencial.

Exemple[modifica]

L'espai de fases d'un pèndol simple

Considerem l'equació diferencial que descriu el moviment del pèndol simple:

On denota la longitud del pèndol, l'acceleració gravitacional i l'angle entre el pèndol i la verticalitat. En aquest sistema hi ha una quantitat H (el hamiltonià) conservada, que ve donada per

Amb això definit, es pot traçar una corba constant H en l'espai de fases del sistema. L'espai de fases és un gràfic amb al llarg de l'eix horizontal i a l'eix vertical – svegeu imatge de la dreta. El tipus de corba resultant depèn del valor d'H .

Si llavors no existeix cap corba ( deu ser imaginària).

Si llavors la corba serà una simple corba tancada quasi circular per H petita i amb forma ovalada quan H s'aproximada al límit superior. Aquestes corbes corresponen al pèndol movent-se de costat a costat.

Si llavors la corba és oberta, i això correspon al pèndol movent-se sempre en cercles complets.

En aquest sistema la separatriu és la corba que correspon a . Separa (d'aquí el nom) l'espai de fases en dues àrees diferents. Dins la separatriu correspon al moviment endavant i enrere, mentre que fora de la separatriu correspon amb el pèndol movent-se contínuament en cercles.

Enllaços externs[modifica]