Teorema de Kutta-Jukowski

El teorema de Kutta-Joukowski és un teorema fonamental de l'aerodinàmica. Porta el nom de l'alemany Martin Wilhelm Kutta i el rus Nikolai Jukovski que van començar a desenvolupar les seves idees clau a principis del segle XX. El teorema relaciona la força de sustentació generada per un cilindre recte amb la velocitat del fluid al voltant del cilindre, la densitat del fluid, i la circulació. La circulació és la integral de línia de la velocitat del fluid, en una corba tancada que conté al cilindre. En les descripcions del teorema Kutta-Joukowski el cilindre recte en general es limita a un cilindre circular o un perfil alar.

El teorema es refereix al flux bidimensional al voltant d'un cilindre (o un cilindre d'envergadura infinita) i determina la sustentació generada per unitat d'envergadura. Quan es coneix la circulació $\Gamma$, la sustentació $l$ per unitat d'envergadura del cilindre pot ser calculada en primera aproximació usant l'equació següent:

$l=\rho \cdot V\cdot \Gamma \,$

on $\rho$ és la densitat del fluid, $V$ és la velocitat del fluid a través del cilindre, i $\Gamma$ és la circulació.

Kuethe i Schetzer declaren el teorema Kutta-Joukowski així:

La força per unitat de longitud que actua sobre un cilindre recte de qualsevol secció transversal té mòdul $\rho \,V\,\Gamma$ i direcció ortogonal a V.

Es poden trobar proves formals del teorema en textos estàndard. Tot i això, com a argument de plausibilitat, consideri's una superfície sustentadora fina de corda $c$ i envergadura infinita, movent-se a través de l'aire de densitat $\rho$. Deixi's el perfil alar inclinat al flux, tenint una velocitat $V$ l'aire sobre el costat superior del perfil alar i una velocitat $V+\Delta V$ l'aire sota el perfil. La circulació, és, doncs:

$\Gamma =(V+\Delta V)\,c-V\,c=\Delta V\,c\,$

La diferència de pressió $\Delta P$ entre els dos costats del perfil alar es pot trobar mitjançant l'aplicació del principi de Bernoulli:

${\frac {\rho }{2}}\,V^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+\Delta V)^{2}+P\,$

${\frac {\rho }{2}}\,V^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2\cdot V\cdot \Delta V+\Delta V^{2})\,$

$\Delta P=\rho \cdot V\cdot \Delta V\quad$ (negligint ${\frac {\rho }{2}}\Delta V^{2}\,$)

llavors, la força de sustentació per unitat d'envergadura és:

$l=\Delta P*c=\rho \cdot V\cdot \Delta V*c=\rho \,V\,\Gamma \,$

Una versió diferencial d'aquest teorema s'aplica sobre cada element de la placa i és la base de la teoria del perfil alar prim.

Referències

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluïu Dynamics, Una introducció a la dinàmica de fluids, Cambridge University Press
• Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Aerodinàmica, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0 273 01120 0
• A. m. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, Fonaments d'Aerodinàmica, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0 471 50952 3

Vegeu també

• Aerodinàmica
• Sustentació
• Nikolai Jukovski