Teorema del valor mitjà de Cauchy

From Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus i .

Teorema[edit]

El teorema diu el següent:

Siguin i dues funcions contínues a i derivables a . Si i no s'anul·len simultàniament, llavors existeix tal que:


Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan .

Demostració[edit]

Tenim dues funcions i continues a i derivables a . A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:

Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:

Per tant, . Calculant la derivada de :

I introduint-hi el valor de , veiem que

Que és equivalent al que volíem demostrar.

A més a més, si i , l'equació anterior es pot escriure com: