![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Crystal128-pipe.svg/25px-Crystal128-pipe.svg.png) |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus
i
.
El teorema diu el següent:
Siguin i dues funcions contínues a i derivables a . Si i no s'anul·len simultàniament, llavors existeix tal que:
|
Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan
.
Tenim dues funcions
i
continues a
i derivables a
. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:
Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:
Per tant,
. Calculant la derivada de
:
I introduint-hi el valor de
, veiem que
Que és equivalent al que volíem demostrar.
A més a més, si
i
, l'equació anterior es pot escriure com: