Teorema multinomial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n, la fórmula multinomial és

El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k1 a km tals que . Igual que en el teorema binomial, les quantitats de la forma 00 que apareixen es consideren iguals a 1.

Els nombres

són els coeficients multinomials.

Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k1 objectes a la primera capsa, k2 objectes a la segona capsa, etcètera.

A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent ki el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és

El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Aquesta demostració del teorema multinomial usa el teorema binomial i el teorema d'inducció en m.

Pel pas inicial (m = 1), els dos costats valen .

Pel pas inductiu, suposa el teorema multinomial per m. Llavors

per la hipòtesi d'inducció, sent .

Aplicant el teorema binomial a l'últim factor,

que completa la inducció.

L'últim pas se segueix de

com es pot veure escrivint els tres coeficients usant factorials: