Teorema multinomial

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En matemàtiques, el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n, la fórmula multinomial és

El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k1 a km tals que . Igual que en el teorema binomial, les quantitats de la forma 00 que apareixen es consideren iguals a 1.

Els nombres

són els coeficients multinomials.

Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k1 objectes a la primera capsa, k2 objectes a la segona capsa, etcètera.

A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent ki el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és

El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.

Demostració[modifica]

Aquesta demostració del teorema multinomial usa el teorema binomial i el teorema d'inducció en m.

Pel pas inicial (m = 1), els dos costats valen .

Pel pas inductiu, suposa el teorema multinomial per m. Llavors

per la hipòtesi d'inducció, sent .

Aplicant el teorema binomial a l'últim factor,

que completa la inducció.

L'últim pas se segueix de

com es pot veure escrivint els tres coeficients usant factorials: