Binomi de Newton

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

El Binomi de Newton [1][2] o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència d'un binomi . És per tant una generalització de les fórmules elementals i . Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombres combinatoris, i diu:

on el coeficient binomial és el nombre combinatori definit com , que es llegeix " sobre ". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat Triangle de Tartaglia, Triangle de Pascal o Triangle aritmètic.

Exemples:

  • per  :
  • per  :

Quan tenim , n'hi ha prou amb escriure-ho com , amb el que s'obté , i, en general,

.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article Potència d'un Binomi de R. Nolla esmentat més avall com a Enllaç extern.

Demostració[modifica]

Raonament combinatori[modifica]

Tenint en compte l'expressió , veiem que es pot escriure com el producte de binomis, , on cada , i el desenvolupament de és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui o – de cada . Per exemple, el terme en el desenvolupament de s'obté seleccionant en cada .

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de , es pot formar a base d'agafar d'un dels i de tota la resta. Hi ha formes de seleccionar un per obtenir la ; per tant s'obté de formes diferents en el desenvolupament de , i per tant el seu coeficient és . En general, per , hi ha

Formes diferents de seleccionar els per obtenir els s (ja que s se seleccionen a partir de ), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a .

Demostració algebraica[modifica]

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quan , es té

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quan l'exponent val . Llavors per

Aplicant la propietat distributiva

Traient fora del sumatori el terme

fent

Traient fora del sumatori de la dreta el terme

Combinant els sumatoris

Aplicant la regla de Pascal

Afegint dins dels sumatori els termes

La sèrie binomial[modifica]

Si escrivim podem anomenar i escriure en lloc de . La funció rep el nom de funció binomial i té sentit també si és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de , i es coneix com sèrie binomial o expansió binomial.[3][4] Aquesta generalitza el Binomi de Newton , que és el cas en què és un nombre natural.

on , (regla mnemotècnica: hi ha factors en el numerador i factors en el denominador).[5]

Per exemple, quan i dona la sèrie següent:

.

I quan i ;

.

Observacions[modifica]

A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa . Si, per exemple, i fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement o .

El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular és molt fàcil si s'escriu com .

Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau és igual a i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.

El terme quan i és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament en una seqüència de assaigs independents amb una probabilitat fixa d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de distribució binomial.

La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.[6] Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.[7]

Comentaris[modifica]

És famós el vers del poeta portuguès Fernado Pessoa: O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso. [8] (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)

Referències[modifica]

  1. Rade, Lennart; Westergren, Bertil. Mathematics Handbook for Science and Engineering. Springer. ISBN ISBN 978-3-662-08549-3. 
  2. Bronshtein, I.; Semendiaev, K.. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes (en castellà). Moscou: MIR, 1977. 
  3. M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.). [people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables] (en anglès). Dover, 1970. ISBN 0486612724. 
  4. F.W.J. Oliver, et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. ISBN 9780521140638. 
  5. Binomial Series. [Consulta: 04/07/2017]
  6. Suzuki, Jeff. Mathematics in Historical Context (en anglès). The Mathematical Association of America, p. 226. ISBN 978-0-88385-570-6. 
  7. Suzuki, Jeff. Mathematics in Historical Context (en anglès). The Mathematical Association of America, p. 233. ISBN 978-0-88385-570-6. 
  8. «"Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo".» (en portuguès). arquivopessoa.net. [Consulta: 24 novembre 2017].

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]

Potència d'un binomi, per R. Nolla