Usuari:Freutci/fnocentral

Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria

$$G={\frac {X}{Y}},\ {\text{amb}}\ X\sim \chi ^{2}(\nu _{1},\lambda ),\,Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2}),\,X\ {\text{i}}\ Y\ {\text{independents}}.$$

D'aquí deduirem la funció de densitat de $F={\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}G$ .

Demostrarem que la distribució de $G$ és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per $f_{n}$ la funció de densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}$ i per $f_{n,\lambda }$ la densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}(\lambda )$ . També denotarem per $p_{j}$ els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$:

$$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}.$$

Recordem que la distribució khi quadrat no central $\chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )$ és una mixtura de distribucions $\chi _{\nu _{1}+2j}^{2},\ j=0,1,\dots$ amb pesos $p_{j}$ , i tenim

$$f_{\nu _{1},\lambda }(x)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,f_{\nu _{1}+2j}(x).\quad \quad (1)$$

Donada la independència entre $X$ i $Y$ , la funció de densitat conjunta de $(X,Y)$ és

$$f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)=f_{\nu _{1},\lambda }(x)\,f_{\nu _{2}}(y).\quad \quad (2)$$

Sigui $\varphi _{G}$ la funció característica de $G$. Per (2) i (1),

$${\begin{aligned}\varphi _{G}(t)&=E{\big [}e^{itG}{\big ]})=E{\big [}e^{itX/Y}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1},\lambda }(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy.\quad \quad (3)\end{aligned}}$$

Però $f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)$ és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria $Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ i una variable $Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}=Y_{\nu _{1}+2j}/Y'_{\nu _{2}}$ . Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos $p_{j}$. Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ és

$$f_{H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}(x)={\frac {1}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\,{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(1+x)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}.$$

Finalment, s'utilitza que si $M$ és una variable aleatòria amb funció de densitat $f_{M}$ i $a\neq 0$ , aleshores la densitat de $N=aM$ és

$$f_{N}(x)={\frac {1}{\vert a\vert }}f{\Big (}{\frac {x}{a}}{\Big )}.$$

Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució $F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )$ és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component $j$, $j=0,1,\dots$ , és la distribució d'una variable aleatòria de la forma ${\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ on $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numeradora amb $\nu _{1}+2j$ graus de llibertat i el denominador amb $\nu _{2}$; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ . Cal notar que ${\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ no té una distribució $F(\nu _{1}+2j,\nu _{2})$.

Sigui $F\sim F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )$ . Aleshores $F$ té moment d'ordre $k$ si i només si $k<\nu _{2}/2$. En aquest cas,

$$E[F^{k}]={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.$$

En particular, Si $\nu _{2}>4$, aleshores $F$ té moment de segon ordre, que val

$$E[F^{2}]={\frac {\nu _{2}^{2}}{\nu _{1}^{2}}}\,{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+4\lambda +2\nu _{1}}{(\nu _{2}-2)(\nu _{2}-4)}}.$$

Prova:

Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de $F$ , (recordem que $Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ i $Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ , independents)

$${\begin{aligned}E{\big [}F^{k}{\big ]}&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}G^{k}{\big ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\bigg [}{\frac {Y_{\nu _{1}+2j}^{k}}{(Y'_{\nu _{2}})^{k}}}{\bigg ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}\,E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\\&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}.\end{aligned}}$$

Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la distribució $F$,

$$E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}<\infty \quad \Longleftrightarrow \quad k<{\frac {\nu _{2}}{2}},$$

i quan $k<\nu _{2}/2$,

$$E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}.$$

D'altra banda, el moment d'ordre $k$ d'una distribució $\chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ és

$$E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}={\frac {2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.$$

Per a $x\geq 0$, reordenant els termes de la funció de densitat tenim que

$$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu }{2}}}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(\nu _{2}+\nu _{1}t)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}\,dt.$$

Ara a cada integral es fa el canvi

$$t={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\,{\frac {y}{1-y}}$$

i s'obté una integral del tipus funció beta incompleta.