Vés al contingut

Usuari:Freutci/fnocentral

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria D'aquí deduirem la funció de densitat de .

Demostrarem que la distribució de és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per la funció de densitat d'una distribució i per la densitat d'una distribució . També denotarem per els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre : Recordem que la distribució khi quadrat no central és una mixtura de distribucions amb pesos , i tenim Donada la independència entre i , la funció de densitat conjunta de és Sigui la funció característica de . Per (2) i (1), Però és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria i una variable independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma . Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos . Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable és Finalment, s'utilitza que si és una variable aleatòria amb funció de densitat i , aleshores la densitat de és Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component , , és la distribució d'una variable aleatòria de la forma on és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numeradora amb graus de llibertat i el denominador amb ; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre . Cal notar que no té una distribució .

Sigui . Aleshores té moment d'ordre si i només si . En aquest cas,

En particular, Si , aleshores té moment de segon ordre, que val Prova:

Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de , (recordem que i , independents)Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la distribució , i quan , D'altra banda, el moment d'ordre d'una distribució és Per a , reordenant els termes de la funció de densitat tenim queAra a cada integral es fa el canvi i s'obté una integral del tipus funció beta incompleta.