Vés al contingut

Usuari:Jordiventura96/proves/Flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En dinàmica de fluids, la derivació del flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes mostra com aquest flux és una solució exacta de les equacions de Navier-Stokes.[1][2]

Derivació

[modifica]

El flux laminar a través d'un conducte de secció uniforme (circular) es coneix com flux de Hagen-Poiseuille. Les equacions que governen aquest flux es poden derivar directament de les equacions de moment de Navier-Stokes en coordenades cilíndriques (3D) a través de les següents suposicions.

  1. El flux és no estacionari ( ).
  2. Les components radial i azimutal de la velocitat del fluid són zero ( ).
  3. El flux és axisimètric ( ) i desenvolupat del tot ( ).

Llavors l'equació angular de l'equació de continuitat es satisfan idènticament. La primera equació de moment es redueix a . La pressió és funció de la coordenada de l'eix . La tercera equació del moment es redueix a:

on és la viscositat dinàmica del fluid.
La solució és

Com que ha de ser finit a , . La condició de contorn de no lliscament a la paret del conducte requereix que a (radi del tub), que porta a:

Llavors es té finalment el següent perfil de velocitat parabòlica:

La velocitat màxima es dóna al centre del tub ():

La velocitat mitjana es pot obtenir integrant respecte la velocitat a través de la secció:

L'equació de Hagen-Poiseuille relaciona el gradient de pressió a través del conducte circular de llargària amb la velocitat mitjana al conducte i altres paràmetres. Assumint que la pressió decreix linealment a través de la llargària del tub, es téː

(constant). Substituint això i l'expressió per a l'expressió per , i tenint en compte que el diàmetre del conducte és , es téː

Reagrupant això s'obté l'equació de Hagen-Poiseuilleː

Referències

[modifica]
  1. White, Frank M. «6». A: Fluid Mechanics. 5. McGraw-Hill, 2003. 
  2. Bird, Stewart, Lightfoot. Transport Phenomena, 1960. 

Vegeu també

[modifica]
  • Llei de Poiseuille
  • Flux de Couette