Usuari:Mcapdevila/Teorema de superposició

La resposta d'un circuit lineal que té diverses fonts d'excitació, és la suma de les respostes a cadascuna de les fonts d'excitació actuant per separat .

El teorema de superposició és molt important en l'anàlisi de circuits. S'utilitza en la conversió de qualsevol circuit en el seu equivalent Norton o equivalent de Thévenin. És aplicable en circuits lineals (variant o invariant en el temps) com ara: fonts independents, fonts dependents lineals, elements passius com resistències, els inductors, condensadors, transformadors lineals... Només es pot utilitzar en el cas de circuits elèctrics lineals, és a dir circuits formats únicament per components lineals (en els quals l'amplitud del corrent que els travessa és proporcional a l'amplitud de la tensió a les seves extremitats).

El teorema de superposició ajuda a trobar:

- Valors de tensió, en una posició d'un circuit, que té més d'una font de tensió.

- Valors de corrent, en un circuit amb més d'una font de tensió

Aquest teorema estableix que l'efecte que dos o més fonts tenen sobre una resistència és igual, a la suma de cada un dels efectes de cada font presos per separat, substituint totes les fonts de tensió restants per un curt circuit.

Exemple:

Teorema de superposició, circuit original. Es vol saber quin és el corrent que circula per la resistència RL (resistència de càrrega).

En el circuit original (banda dreta) R1 = 2 kilohmios, R2 = 1 kilohmio, RL = 1 kilohmio, V1 = 10 volts, V2 = 20 volts,

Teorema de superposició, primera font. Com que hi ha dues fonts de voltatge, s'utilitza una a la vegada mentre es curtcircuita l'altra. (Primer diagrama a la dreta es pren en compte només V1. Segon diagrama es pren en compte només V2).

De cada cas s'obté el corrent que circula per la resistència RL i després aquests dos resultats se sumen per obtenir el corrent total en aquesta resistència

Primer s'analitza el cas en què només està connectada la font V1.

S'obté el corrent total que lliura aquesta font obtenint la resistència equivalent de les dues resistències en paral·lel R1 i RL Req .= RL//R2 = 0,5 kilohmios (kilohms)

Nota://significa paral·lel

A aquest resultat se li suma la resistència R1 (R1 està en sèrie amb Req.) Resistència total = RT = R1+Req. = 0,5+2 = 02/05 kilohmios

D'aquesta manera s'haurà obtingut la resistència total equivalent en sèrie amb la font.

Teorema de superposició, segona font

Per obtenir el corrent total s'utilitza la Llei d'Ohm I = V/R I total = 10 Volts/02/05 kilohmios = 4 miliampers (Ma)

Pel teorema de divisió de corrent s'obté el corrent que circula per RL: IRL = [I x RL//R2]/RL on RL//R2 significa el paral·lel de RL i R2 (es va obtenir abans Req. = 0.5 kilohmios)

Reemplaçant: IRL = [4 mA x 0,5 kilohmios]/1 kilohmio = 2 mA. (Miliampers)

El cas de la font V2 es desenvolupa de la mateixa manera, només que s'haurà de curtcircuitar la font V1. En aquest cas el corrent degut només a V2 és: 8 mA. (Miliampers)

Sumant les dues corrent es trobarà el corrent que circula per la resistència RL del circuit original

Corrent total = IT = 2 mA.+8 mA. = 10 mA. (Miliampers).

Si es té el corrent total en aquesta resistència, també es pot obtenir el seu voltatge amb només utilitzar la llei d'Ohm: VL = IT x RL

Exemple

Dalt: circuit original.
Enmig: circuit amb només la font de tensió.
A sota: circuit amb només la font de corrent.

En el circuit de dalt de la figura de dreta, calculem la tensió en el punt A utilitzant el teorema de superposición.Como hi ha dos generadors, cal fer dues càlculs intermedis.



En el primer càlcul, conservem la font de tensió d'esquerra i substituirà a la font de corrent per un circuit obert. La tensió parcial obtinguda és:: $V_{1}=V_{\circ }\textstyle {Z_{2} \over Z_{1}+Z_{2}}$

En el segon càlcul, guardem la font de corrent de dreta i substituirà a la font de tensió per un curtcircuit. La tensió obtinguda és:: $V_{2}=I_{\circ }\left(Z_{1}\parallel Z_{2}\right)=I_{\circ }\textstyle {Z_{1}Z_{2} \over Z_{1}+Z_{2}}$

La tensió que busquem és la suma de les dues tensions parcials:: $V_{A}=V_{1}+V_{2}=V_{\circ }\textstyle {Z_{2} \over Z_{1}+Z_{2}}+I_{\circ }\textstyle {Z_{1}Z_{2} \over Z_{1}+Z_{2}}=\textstyle {V_{\circ }Z_{2}+I_{\circ }Z_{1}Z_{2} \over Z_{1}+Z_{2}}$

Interès del teorema

En principi, el teorema de superposició pot utilitzar per calcular circuits fent càlculs parcials, com hem fet en l'exemple precedent. Però això no presenta cap interès pràctic perquè l'aplicació del teorema allarga els càlculs en lloc de simplificar. Cal fer un càlcul separat per cada font de tensió i de corrent i el fet d'eliminar els altres generadors no simplifica molt o gens el circuit total. Altres mètodes de càlcul són molt més útils.

El veritable interès del teorema de superposició és teòric. El teorema justifica mètodes de treball amb circuits que simplifiquen veritablement els càlculs. Per exemple, justifica que es facin separadament els càlculs de corrent continu i els càlculs de senyals (corrent altern) en circuits amb Components actius (transistor és, amplificadors operacionals, etc.).

Un altre mètode justificat pel teorema de superposició és el de la descomposició d'un senyal no sinusoïdal en suma de senyals sinusoïdals (veure descomposició en sèrie de Fourier). Es reemplaça un generador de tensió o de corrent per un conjunt (potser infinit) de fonts de tensió en sèrie o de fonts de corrent en paral·lel. Cadascuna de les fonts correspon a una de les freqüències de la descomposició. Per descomptat no es farà un càlcul separat per a cadascuna de les freqüències, sinó un càlcul únic amb la freqüència sigui literalment. El resultat final serà la suma dels resultats obtinguts substituint, en el càlcul únic, la freqüència per cada una de les freqüències de la sèrie de Fourier. L'enorme interès d'això és el de poder utilitzar el càlcul amb el formalisme de impedàncies quan els senyals no són sinusoïdals.