Distribució quasi estacionària

Distribució quasi estacionària

Amb probabilitat una distribució quasi estacionària és un procés aleatori que admet un o diversos estats absorbents que s'assoleixen amb quasi seguretat, però inicialment es distribueix de manera que pot evolucionar durant molt de temps sense arribar-hi. L'exemple més comú és l'evolució d'una població: l'únic equilibri és quan ja no queda ningú, però si modelem el nombre de persones és probable que es mantingui estable durant un llarg període abans que finalment s'enfonsi.

Història

Els treballs de Wright sobre la freqüència de gens el 1931 i de Yaglom sobre els processos de ramificació el 1947 ja incloïen la idea d'aquestes distribucions. El terme quasi-estacionarietat aplicat als sistemes biològics va ser utilitzat llavors per Bartlett el 1957, que més tard va encunyar "distribució quasi-estacionària". Les distribucions quasi estacionàries també formaven part de la classificació de processos morts donada per Vere-Jones el 1962 i la seva definició per a cadenes de Markov d'estat finit la van fer el 1965 Darroch i Seneta.

Definició formal

Considerant un procés de Markov $(Y_{t})_{t\geq 0}$ prenent valors en ${\mathcal {X}}$. La definició general és: una mesura de probabilitat ν activat Xa es diu que és una distribució quasi estacionària (QSD) si per a cada conjunt mesurable B continguda en Xa

$$\forall t\geq 0,\operatorname {P} _{\nu }(Y_{t}\in B\mid T>t)=\nu (B)$$

on $\operatorname {P} _{\nu }=\int _{{\mathcal {X}}^{a}}\operatorname {P} _{x}\,\mathrm {d} \nu (x)$

En particular $\forall B\in {\mathcal {B}}({\mathcal {X}}^{a}),\forall t\geq 0,\operatorname {P} _{\nu }(Y_{t}\in B,T>t)=\nu (B)\operatorname {P} _{\nu }(T>t).$

Exemples

Les distribucions quasi estacionàries es poden utilitzar per modelar els processos següents:

• Evolució d'una població pel nombre de persones: l'únic equilibri és quan ja no queda ningú.
• Evolució d'una malaltia contagiosa en una població pel nombre de malalts: l'únic equilibri és quan la malaltia desapareix.
• Transmissió d'un gen: en cas que hi hagi diversos al·lels en competició mesurem el nombre de persones que en tenen un i l'estat absorbent és quan tothom té el mateix.
• Model de votant: on tothom influeix en un petit conjunt de veïns i es propaguen opinions, estudiem quanta gent vota per un determinat partit i només s'arriba a un equilibri quan el partit no té votant, o tota la població el vota.