Carta (topologia)

Carta s'inclou en terminologia matemàtica en el sentit cartogràfic, l'objectiu és el d'unir una sèrie de cartes o "mapes" perquè ens permetin definir completament un atles o "col·lecció de mapes" de la totalitat d'un espai topològic que volem estudiar.

Per a una ampliació contextual de la definició vegeu varietats diferenciables.

Definició de cartes

Donat un espai topològic $M_{}^{}$, anomenarem carta de dimensió $m_{}^{}$ dins $M_{}^{}$ a un parell $(O,\Phi _{}^{})$ tal que l'aplicació $\Phi :U={\stackrel {\circ }{O}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ compleixi que $\Phi _{}^{}(U)$ sigui un obert i $\Phi _{}^{}$ sigui un homeomorfisme (bijectiva, contínua i inversa contínua).

Notes

• Direm que $O_{}^{}$ és un obert coordenat.
• Si $p\in U$, direm que $O_{}^{}$ és un entorn coordenat de $p_{}^{}$.

• Si $\Phi (p)=0_{}^{}$, direm que la carta està centrada en $p_{}^{}$.

Exemples trivials

1) Si $M=\mathbb {R} ^{n}$ podem veure que $(\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})$ és carta $\forall n\in \mathbb {N} :n>0$.

2) Si $M=\mathbb {R}$ podem veure que $((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )$ és carta $\forall a,b\in \mathbb {R} :a<b$.

3) Si $M=\mathbb {R}$ podem veure que $(\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})$ és carta, també ho és $x^{2n+1}\forall n>1$.

Demostració:

$\mathbb {R}$ és espai topològic, $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}$, després és bijectiva i com és contínua tenim un homeomorfisme.

4) Si $M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C}$ podem veure que $(S^{1}\ \{i\},\;\Phi )$ és carta per:

${\begin{matrix}\Phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}$.

5) Si $M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C}$ podem veure que $(S^{1}\ \{i\},\;\psi )$ és carta per:

La projecció estereogràfica ${\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sin(arg(z))}}}\end{matrix}}$.

6) Si $M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ podem veure que $(S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\Phi )$ és carta per:

${\begin{matrix}\Phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}$.

Bibliografia

La mateixa que Varietat diferenciable.

Nota

Viccionari