Constant Omega

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, la constant Omega, anotada Ω, és una constant definida per:

Aquí Ω és un cas particular de la funció W de Lambert. El nom de la constant prové del nom alternatiu de la funció W de Lambert, la funció omega. No l'hem de confondre amb la constant Omega de Chaitin, definida en la teoria algorítmica de la informació.

Definició[modifica]

La constant prové de la funció W de Lambert, que rep aquest nom en honor del matemàtic alsacià Johann Heinrich Lambert. Té la forma següent:

és un nombre complex, expressat en notació polar de nombres complexos, i la funció ve definida per , complint-se, doncs, la igualtat

La constant omega és el cas particular de la funció W de Lambert quan . L'expressió resultant és la coneguda:

Propietats[modifica]

Valor aproximat[modifica]

El valor aproximat d'Ω és:

[1]

Altres definicions[modifica]

Les següents expressions també validen el valor d'Ω:[2]

Es pot calcular el valor d'Ω seguint un mètode iteratiu partint d'un Ω0 i obtenint cada element de la seqüència executant:

La seqüència tendirà al valor d'Ω a mesura que n tendeixi a ∞. Això passa ja que Ω és un punt fix de la funció

S'obtindrà la constant de manera molt més eficient mitjançant la seqüència:[3]

ja que la funció:

té el mateix punt fix però té també la derivada igual a 0 en aquest punt fent que la convergència sigui quadràtica (el nombre nous dígits correctes és aproximadament duplicat per cada iteració.

Una identitat curiosa, atribuïda a Victor Adamchik, és la donada per la relació:

Integral que també es pot expressar de la següent manera:

Irracionalitat[modifica]

La constant és un nombre irracional. Mitjançant la reducció a l'absurd es parteix de la base que el nombre és un nombre transcendent (demostrat per Charles Hermite el 1873).

Suposant que és un nombre racional, llavors existeixen i nombres naturals primers entre ells tals que:

llavors:


i finalment:

fet que convertiria el nombre en un nombre algebraic d'ordre , contradient la premissa que és un nombre transcendent (no algebraic).

Transcendència[modifica]

A més de ser un nombre irracional, la constant Omega és també un nombre transcendent, segons es pot demostrar mitjançant el teorema de Lindemann-Weierstrass. Aquest teorema, juntament amb el de Gelfond-Schneider, constitueix la conjectura de Schanuel, i serveix per determinar si un nombre és transcendent o no. En particular, diu el següent:

Suposem , un nombre algebraic no nul, llavors {} és un conjunt linealment independent sobre els racionals. {} en serà un conjunt algebraicament independent, o en altres paraules, el nombre serà transcendent.

Aplicat a la constant Omega, es suposa que és un nombre algebraic i es parteix de la identitat:

Llavors, si és un nombre algebraic, també ho serà, i per tant, serà, per força, un nombre transcendent, contradient la identitat inicial. Per tant, ha de ser per força un nombre transcendent, sent també un nombre transcendent.

Enllaços externs[modifica]

Referències[modifica]