En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.
S'acostuma a escriure com
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c291f8d17748a5fa40d471331c2669d4a20ec5bb)
o també
![{\displaystyle x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{quan}}\quad n\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dccf8de8fcb1a9ff6ff524a6d1a3a306258f1e)
o simplement
![{\displaystyle x_{n}\to x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88df4e4479c7000a0462132b192cd875b3bb0816)
Intuïtivament, això vol dir que els elements
de la successió poden ser tan propers a
com vulguem si
és prou gran, ja que
determina la distància entre
i
. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.
Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat
, la norma
indueix la mètrica
per cada
; en el cas dels espais amb producte intern
, el producte intern
indueix la norma
per cada
.
- Successions a
o ![{\displaystyle \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Els conjunts dels nombres reals
i dels nombres complexos
es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements
o
, la funció
determina una mètrica.
Per tant, una successió
en
convergeix a un
si per qualsevol
, existeix un enter
tal que
![{\displaystyle n\geq N\Rightarrow \vert x_{n}-x\vert <\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e2301c336fd73fd3e79ca89ca7d145c4b3e636)
Alguns exemples poden ser:
- La successió constant definida per
per a tots els valors de
, on
. Aquesta successió convergeix a
ja que:
![{\displaystyle \vert x_{n}-c\vert =\vert c-c\vert =0<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5ce067861a13f990cc7cc65d3eb1639cc80a93)
- La successió
. Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada
, existeix un nombre natural
tal que
, i per tant, si
i llavors:
![{\displaystyle \vert x_{n}-0\vert =\vert 0\vert =1/n<1/N<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f590d2e77e9f7cf65ac8f81209e8fbf278152f1)
- La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si
![{\displaystyle \,p>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfcd4a9fef04ed7c186f78494ad2874d92ecc74)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b446f12b32d5c1eb4db77dc6eac84d9356f5f371)
- Si
, llavors ![{\displaystyle a^{n}\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6b35fcabf0ee3de3e5482a2fdc05ac3d8c6974)
- La successió
. En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en ![{\displaystyle \,-1,1,-1,1,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5cf1aaef66a4c09d69ae7f23d1ecf2effecc1d)
- Donat que
(en particular
) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió
a
(en particular
) és possible associar-li la successió de sumes parcials
![{\displaystyle s_{n}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bcdaefbf93e0f3d4cd23335f38d0f5bc5edc95)
- La successió
s'expressa com
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a010b685126d19bf411b78ce6b1e748e294afe)
- i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi,
, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78994af0feb29e7eee004f5582d6b2e60a76fbfa)
- En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a^{n}={\frac {a}{1-a}},(\vert a\vert <1),\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty ,\quad \sum _{n=1}^{k}(-1)^{n}={\begin{cases}-1,&{\mbox{si }}k{\mbox{ imparell}}\\\quad 0,&{\mbox{si }}k{\mbox{ parell}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a171583c02a8549d6c529dd9e1fc13f51d1102)