Coordenades homogènies

En matemàtiques, i més concretament en geometria projectiva, les coordenades homogènies són un instrument usat per descriure un punt a l'espai projectiu. Van ser introduïdes pel matemàtic alemany August Ferdinand Möbius l'any 1837.

També poden utilitzar-se com un sistema alternatiu de coordenades per treballar a l'espai euclidià, perquè aquest pot veure's com un subconjunt de l'espai projectiu. D'aquesta manera, les coordenades homogènies són àmpliament usades en infografia per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seva notació en forma matricial s'empra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D.

Introducció informal

En coordenades homogènies, tot punt bidimensional està definit per tres coordenades. De tal manera que un punt de dimensions $x$, $y$, l'hi representa per la terna: $x/w$, $y/w$, $w$.

Matemàticament, les coordenades $x$ i $y$ es troben dividint els dos primers nombres entre el tercer, respectivament.

En dues dimensions, el seu valor es pot trobar més fàcilment si $w=1$, per simplificació. En tres dimensions, sol ocórrer el mateix $w=1$.

Bàsicament, es tracta d'ampliar el plànol euclidià (en el cas bidimensional) al plànol projectiu, és a dir, incloure-li els punts impropis o de l'infinit.

Així, un punt impropi és aquell on $w=0$.

Una conseqüència d'aquesta escriptura és que un punt propi té infinites formes d'escriure-ho, tot dependrà dels quocients $x/w$ i $y/w$ (amb $w$ diferent de $0$).

Enllaços externs

• Apuntes de Gráficos Arxivat 2009-05-20 a Wayback Machine. (castellà)