Derivada aritmètica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la teoria de nombres, la derivada aritmètica, o derivada numèrica, és una funció definida per a enters, basada en la seva descomposició en factors primers, per analogia amb la regla de producte de la derivada d'una funció que es fa servir en l'anàlisi.

Definició[modifica | modifica el codi]

Per a nombres naturals es defineix de la manera següent:

  • per a qualsevol nombre primer .
  • per a qualsevol (Regla del producte).

Per tal que coincideixi amb la regla del producte es defineix com , tal com és . Explícitament, suposant que

on són nombres primers diferents i són enters positius. Llavors

La derivada aritmètica també compleix la regla de la potència (per a nombres primers):

on és primer i és un enter positiu. Per exemple

La successió de derivades aritmètiques per k = 0, 1, 2... comença (successió A003415 a l'OEIS):

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ....

E.j. Barbeau va ser el primer a formalitzar aquesta definició. L'estenia a tots els enters demostrant que defineix unívocament la derivada sobre els enters. Barbeau també l'estenia a nombres racionals. Victor Ufnarovski i Bo Åhlander l'estenien a certs irrationals. En aquestes ampliacions, la fórmula de damunt encara s'aplica, però els exponents es permet que siguin nombres racionals arbitraris.

Rellevància per a la teoria de nombres[modifica | modifica el codi]

Ufnarovski and Åhlander have detailed the function's connection to famous number-theoretic conjectures like the twin prime conjecture, the prime triples conjecture, and Goldbach's conjecture. For example, Goldbach's conjecture would imply, for each k > 1 the existence of an n so that n' = 2k. The twin prime conjecture would imply that there are infinitely many k for which k'' = 1.

Ufnarovski i Åhlander han detallat la connexió de la funció a conjectures teòriques de nombre famoses com la conjectura dels nombres primers bessons, la conjectura de nombres primers trigemins, i la Conjectura de Goldbach. Per exemple, la conjectura de Goldbach implicaria, per a cada k > 1 existeix un n de manera que n ' = 2k. La conjectura dels nombres primers bessons implicaria que hi hagi una quantiat infinita de k per als que k '' = 1.

Referències[modifica | modifica el codi]