Derivada de Gâteaux

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la derivada de Gâteaux és una generalització del concepte de derivada direccional. S'anomena així en honor a René Gâteaux, un matemàtic francés que va morir jove a la Segona Guerra Mundial, es defineix per a espais vectorials topològics localment convexes, en oposició a la derivada en espais de Banach, la derivada de Fréchet. Totes dues derivades, sovint es fan servir per a formalitzar la derivada funcional que es fa servir habitualment en física, en particular en Teoria quàntica de camps. A diferència d'altres formes de derivada, la derivada de Gâteaux d'una funció pot ser no lineal.

Definició[modifica | modifica el codi]

Suposeu que i són espais vectorials topològics localment convexes (per exemple, espais de Banach), és obert, i

La derivada de Gâteaux de a en la direcció es defineix com

Si el límit existeix. Si el límit existeix per a tot , llavors es diu que té derivada de Gâteaux a .

Es diu que és contínuament derivable en si

es contínua.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Si la derivada de Gâteaux existeix, és única.

Per a cada la derivada de Gâteaux és un operador

Aquest operador és homogeni, de forma que

,

però, en general, no és additiu, i, per tant, no sempre és lineal, a diferència de la derivada de Fréchet.

En canvi, per a X i Y espais de Banach, si se suposa que la derivada de Gâteaux dF(u, ψ) de F és contínua i lineal a ψ per a tot uU, i dF és una aplicació contínua d'espais mètrics UL(XY), llavors F és Fréchet derivable. Aquest criteri és anàleg al de derivabilitat d'una funció a partir de la continuïtat de les seves derivades parcials.

Si F és Fréchet derivable, llavors, també és Gâteaux derivable, i les seves derivades de Fréchet i de Gâteaux concorden.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Sia l'espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrables sobre un conjunt Lebesgue mesurable en l'espai euclidià RN. El funcional

Donat per

on és una funció real d'una variable real amb i està definit en amb valors reals, té per derivada de Gâteaux

En efecte,

Fent (i suposant que totes les integrals estan ben definides) dóna com a resultat per a la derivada de Gâteaux

És a dir, el producte interior de

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]