Vés al contingut

Dilogaritme

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
El dilogaritme al llarg de l'eix real

En matemàtiques, el dilogaritme o funció d'Spence, denotada com a Li₂(z), és un cas particular de polilogaritme. Existeixen dues funcions especials relacionades que s'anomenen funció de Spence, el propi dilogaritme:

i el seu reflex. Per a |z|<1, també es pot escriure com a sèrie infinita (la definició integral constitueix la seva extensió analítica al pla complex):

Alternativament, la funció de dilogaritme de vegades es defineix com a

En geometria hiperbòlica, el dilogaritme es pot utilitzar per a calcular el volum d'un símplex ideal. Concretament, un símplex els vèrtexs del qual tenen una proporció creuada z té volum hiperbòlic

La funció D(z) de vegades s'anomena funció de Bloch-Wigner.[1] La funció de Lobachevsky i la funció de Clausen són funcions estretament relacionades.

El dilogaritme va ser estudiat per primer cop pel matemàtic escocès de principis del segle XIX, William Spence.[2]

Estructura analítica

[modifica]

Utilitzant la definició anterior, la funció de dilogaritme és analítica arreu del pla complex excepte a , on té un punt de ramificació logarítmica. L'opció estàndard de tall de branca és al llarg de l'eix real positiu . Tanmateix, la funció és contínua al punt de ramificació i pren el valor .

Identitats

[modifica]
[3]
[4]
[3]
[4]
[3]

Identitats de valor particular

[modifica]
[4]
[4]
[4]
[4]

Valors especials

[modifica]
on és la funció zeta de Riemann.

En física de partícules

[modifica]

El dilogaritme apareix sovint en problemes teòrics de física de partícules en càlculs de correccions radiatives. En aquest context, la funció sovint es defineix amb un valor absolut dins del logaritme:

Notes

[modifica]
  1. Zagier p. 10
  2. «William Spence - Biography».
  3. 3,0 3,1 3,2 Zagier
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 Weisstein, Eric W., «Dilogarithm» a MathWorld (en anglès).

Referències

[modifica]

Bibliografia addicional

[modifica]

Enllaços externs

[modifica]