Distribució de Wishart inversa complexa

Distribució de Wishart inversa complexa

La distribució de Wishart inversa complexa és una distribució de probabilitat matricial definida en matrius definides positives de valor complex i és l'analògic complex de la distribució de Wishart inversa real. La complexa distribució de Wishart va ser investigada àmpliament per Goodman mentre que Shaman i altres mostren la derivació de la inversa. Té la màxima aplicació en la teoria d'optimització de mínims quadrats aplicada a mostres de dades de valors complexos en sistemes de radiocomunicacions digitals, sovint relacionades amb el filtratge complex del domini de Fourier.

Lloguer $\mathbf {S} _{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}$ sigui la covariància mostral de vectors p complexos independents $G_{j}$ la covariància hermitiana té una distribució Wishart complexa $\mathbf {S} \sim {\mathcal {CW}}(\mathbf {\Sigma } ,\nu ,p)$ amb valor mitjà $\mathbf {\Sigma } {\text{ and }}\nu$ graus de llibertat, després el pdf de $\mathbf {X} =\mathbf {S^{-1}}$ segueix la distribució de Wishart inversa complexa.

Funció de Densitat

Si $\mathbf {S} _{p\times p}$ és una mostra de la complexa distribució Wishart ${\mathcal {CW}}({\mathbf {\Sigma } },\nu ,p)$ tal que, en el cas més senzill, $\nu \geq p{\text{ and }}\left|\mathbf {S} \right|>0$ aleshores $\mathbf {X} =\mathbf {S} ^{-1}$ es mostra a partir de la distribució de Wishart complexa inversa ${\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p){\text{ where }}\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}$.

La funció de densitat de $\mathbf {X}$ és

$f_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} )={\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}$

on ${\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )$ és la funció gamma multivariant complexa

${\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)$