Equació d'inducció

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

L'equació d'inducció, una de les equacions magnetohidrodinàmiques, és una equació diferencial parcial que relaciona el camp magnètic i la velocitat d'un fluid conductor elèctric com un plasma. Es pot derivar de les equacions de Maxwell i de la llei d'Ohm, i té un paper important en la física del plasma i en l'astrofísica, especialment en la hipòtesi de la dinamo.

Declaració matemàtica[modifica]

Les equacions de Maxwell descriuen les lleis de Faraday i Ampère

i

on s'ha descuidat el corrent de desplaçament ja que sol tenir petits efectes tant en aplicacions astrofísiques com en la majoria de plasmes de laboratori. Aquí, i són, respectivament, el camp elèctric i el camp magnètic, i és el corrent elèctric. El camp elèctric pot estar relacionat amb la densitat de corrent utilitzant la llei d'Ohm, on és la velocitat del camp, i és la conductivitat elèctrica del fluid. Combinant aquestes tres equacions, eliminant i , produeix l'equació d'inducció per a un fluid elèctric resistent:

on, és la difusivitat magnètica (en la literatura, la resistivitat elèctrica, definida com , sovint s'identifica amb la difusivitat magnètica).

Si el fluid es mou amb una velocitat típica en una escala de longitud típica , llavors

La relació d'aquestes quantitats, que és un paràmetre adimensional, s'anomena nombre de Reynolds magnètic :

.

Límit perfectament conductor[modifica]

Per a un fluid amb conductivitat elèctrica infinita, , el primer terme de l'equació d'inducció s'esvaeix. Això és equivalent a un nombre de Reynolds magnètic molt gran. Per exemple, pot ser d'ordre en una estrella típica. En aquest cas, el fluid es pot anomenar «fluid perfecte» o «fluid ideal». Per tant, l'equació d'inducció per a un fluid conductor ideal com la majoria dels plasmes astrofísics és

Es considera que és una bona aproximació en la hipòtesi de la dinamo, que s'utilitza per explicar l'evolució del camp magnètic en entorns astrofísics com ara les estrelles, les galàxies i els discs d'acreció.

Límit difusiu[modifica]

Per a nombres de Reynolds magnètics molt petits, el terme difusiu supera el terme convectiu. Per exemple, en un fluid elèctric resistent amb grans valors de , el camp magnètic es difon molt ràpid i no es pot aplicar el teorema d'Alfvén. Això significa que l'energia magnètica es dissipa en forma de calor i altres tipus d'energia. En aquest cas, l’equació d’inducció és

És habitual definir una escala de temps de dissipació que és l'escala de temps per a la dissipació de l'energia magnètica en una escala de longitud .