Equació de Hicks

En dinàmica de fluids, l'equació de Hicks (de vegades també anomenada equació de Bragg-Hawthorne o equació de Squire-Long) és una equació diferencial parcial que descriu la distribució de la funció de corrent per al fluid no viscòs simètric a l'eix, que rep el nom de William Mitchinson Hicks, qui va ser el primer en derivar-la el 1898. L'equació també va ser derivada per Stephen Bragg i William Hawthorne el 1950, per Robert R. Long el 1953, i per Herbert Squire el 1956. L'equació de Hicks sense remolí va ser introduïda per primera vegada per George Gabriel Stokes el 1842. L'equació de Grad-Shafranov que apareix a la física del plasma també adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks.

Representant $(r,\theta ,z)$ com a coordenades en el sentit del sistema de coordenades cilíndriques amb els components de velocitat de flux corresponents denotats per $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$, la funció de corrent $\psi$ que defineix el moviment meridional es pot definir com

$rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

que satisfà automàticament l'equació de continuïtat dels fluxos simètrics a l'eix. L'equació de Hicks ve donada per

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$

on

$H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }$

on $H(\psi )$ és el cap total i $2\pi \Gamma$ és la circulació, conservant-se ambdues al llarg de les línies de la corrent. Aquí, $p$ és la pressió i $\rho$ és la densitat del fluid. Les funcions $H(\psi )$ i $\Gamma (\psi )$ són funcions conegudes, generalment prescrites en un dels límits.

Derivació

Considerem el flux de l'eix simètric en el sistema de coordenades cilíndriques $(r,\theta ,z)$ amb components de velocitat $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$ i els components de vorticitat $(\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})$. A partir de $\partial /\partial \theta =0$ en els fluxos simètrics a l'eix, els components de la vorticitat són

$\omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}$.

L'equació de continuïtat permet definir una funció de flux $\psi (r,z)$ de tal manera que

$v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

(Tingueu en compte que els components de la vorticitat $\omega _{r}$ i $\omega _{z}$ estan relacionats amb $rv_{\theta }$ exactament de la mateixa manera que $v_{r}$ i $v_{z}$ estan relacionats amb $\psi$). Per tant, es converteix en el component azimutal de la vorticitat

$\omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).$

Les equacions del momentum no viscòs $\partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H$, on $H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}$ és la constant de Bernoulli, $p$ és la pressió del fluid i $\rho$ és la densitat del fluid, quan s’escriu per al camp de flux simètric a l'eix, es converteix en

${\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}$

en què la segona equació també es pot escriure com $D(rv_{\theta })/Dt=0$, on $D/Dt$ és la derivada material. Això implica que la circulació $2\pi rv_{\theta }$, que arrodoneix una corba de material en forma de cercle centrat en l'eix $z$, és constant.

Si el moviment del fluid és constant, la partícula del fluid es mou al llarg d’una corrent lineal, és a dir, es mou en la superfície donada per $\psi =$constant. Es dedueix, doncs, que $H=H(\psi )$ i $\Gamma =\Gamma (\psi )$, on $\Gamma =rv_{\theta }$. Per tant, el component radial i azimutal de la vorticitat són

$\omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$.

Els components de ${\boldsymbol {v}}$ i ${\boldsymbol {\omega }}$ són localment paral·lels. Les expressions anteriors es poden substituir en les equacions de momentum radial o axial (després d’eliminar el terme derivat del temps) per a resoldre $\omega _{\theta }$. Per exemple, substituint l'expressió anterior per $\omega _{r}$ a l'equació del momentum axial condueix a

${\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}$

Però $\omega _{\theta }$ es pot expressar en termes de $\psi$ tal com es mostra al començament d’aquesta derivació. Quan $\omega _{\theta }$ s'expressa en termes de $\psi$, obtenim

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.$

Això completa la derivació necessària.