Vés al contingut

Equació de Grad-Shafranov

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En magnetohidrodinàmica, l'equació de Grad-Shafranov (H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) és l'equació d’equilibri ideal per a un plasma bidimensional, per exemple el plasma toroidal simètric a l'eix en un tokamak. Aquesta equació adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks des de la dinàmica de fluids.[1]  Aquesta equació és una equació el·líptica en derivades parcials bidimensional i no lineal obtinguda de la reducció de les equacions ideals de la magnetohidrodinàmica a dues dimensions, sovint per al cas de toroïdals simètrics a l'eix (com per exemple, en un tokamak).

Si prenem com a coordenades cilíndriques, la funció de flux es regeix per l'equació

on és la permeabilitat magnètica, és la pressió, , i el camp magnètic i el corrent són, respectivament, donats per

La naturalesa de l'equilibri, ja sigui un tokamak, un tros de camp invertit, etc. està determinada en gran manera per les eleccions de les dues funcions i així com les condicions límit.

Derivació (en coordenades de lloses)

[modifica]

A continuació, se suposa que el sistema és bidimensional amb com a eix invariant, és a dir per a totes les quantitats. Llavors, el camp magnètic es pot escriure en coordenades cartesianes com

o de manera més compacta,

on és el potencial vectorial del camp magnètic en el pla (components x i y). Tingueu en compte que, basant-nos en aquesta forma de B podem veure que A és constant al llarg de qualsevol línia de camp magnètic donat, ja que és perpendicular a B arreu (tingueu en compte també que -A és la funció de flux esmentat més amunt).

Les estructures magnètiques estacionàries i bidimensionals es descriuen pel balanç de forces de pressió i forces magnètiques, és a dir:

on p és la pressió del plasma i j és el corrent elèctric. Se sap que p és una constant al llarg de qualsevol línia de camp (de nou, des de és perpendicular a B). A més, el supòsit bidimensional () significa que el component z del costat esquerre ha de ser zero, de manera que el component z de la força magnètica del costat dret també ha de ser zero. Això significa que , és a dir, és paral·lel a .

El costat dret de l'equació anterior es pot considerar en dues parts:

on el índex indica el component en el pla perpendicular a l'eix . El component del corrent de l'equació anterior es pot escriure en termes del potencial vectorial unidimensional com

.

El camp en el pla és

,

i utilitzant l'equació de Maxwell-Ampère, el corrent en el pla ve donat per

.

Per tal que aquest vector sigui paral·lel a segons sigui necessari, el vector ha de ser perpendicular a , i té que ser, com , un invariant de línia de camp.

Reorganitzant els productes creuats anteriors condueix a

,

i

Aquests resultats es poden substituir per l'expressió de per a donar:

A partir que i són constants al llarg d'una línia de camp i només tenen funcions d', llavors i . D’aquesta manera, es factoritza i la reordenació dels termes produeix l'equació de Grad-Shafranov:

Referències

[modifica]
  1. Smith, S. G. L; Hattori, Y «Axisymmetric magnetic vortices with swirl» (en anglès). Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(5), 2012, pàg. 2101-2107.

Bibliografia

[modifica]