Vés al contingut

Equació de Txebixov

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

L'equació de Txebixov és una equació diferencial lineal de segon ordre, en funció de les variables x i y s'escriuː

on p és un nombre constant real (o complex). L'equació rep el seu nom pel matemàtic rus Pafnuti Txebixov.

Les solucions poden ser obtingudes a partir de la sèrie de potències:

on els coeficients obeeixen la relació de recurrència

La sèrie convergeix per a (on x pot ser complex), com es pot demostrar tot aplicant el criteri de d'Alembert a la recurrència.

La recurrència pot ser iniciada amb valors arbitraris d'a0 i a1, portant un espai bidimensional de solucions que sorgeix d'equacions diferencial de segon ordre. Les formes estàndards escollides són:

a0 = 1, a1 = 0, que porta a la solució

i

a0 = 0, a1 = 1, que porta a la solució

La solució general és qualsevol combinació lineal de les equacions F i G.

Quan p és un enter no negatiu, la sèrie d'una o l'altra de les dues funcions acaba després d'un número finit de termes: F acaba si p és parell, i G ho fa si p és senar. En aquest cas, la funció és un polinomi de grau p i és proporcional al polinomi de Txebixov de primera classeː

Si p és parellː
Si p és senarː

Referències

[modifica]

Aquest article incorpora material de Chebyshev equation a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Attribution/Share-Alike.