Equació diofàntica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per a trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970, Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per a una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

Equació diofàntica de primer ordre[modifica | modifica el codi]

És una equació de la forma \, ax + by = c , i només té solució si \,\mathrm{m.c.d.} (a,b) | c (és a dir, si el màxim comú divisor de \,a i \,b també divideix \,c).

Resolució general[modifica | modifica el codi]

Les solucions d'aquesta equació són:

x = r c^{\prime} - t b^{\prime}
y = s c^{\prime} + t a^{\prime}

en què a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime} representen \,a/d, b/d, c/d i és \, d = \mathrm{m.c.d.}(a,b). \,r i \,s són les solucions enteres de l'equació \,1 = a' r + b' s .



Exemple[modifica | modifica el codi]

A continuació, resoldrem l'equació \,27x + 51y = 111. En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout \,\frac{27}{3} r + \frac{51}{3} s = 1, d'on trobem una solució immediata que és r=2, \; s=-1. Per tant, la solució general serà:

x = 2\cdot 37 - 17t
y = -1\cdot 37 + 9t

Alguns exemples[modifica | modifica el codi]

  • ax + by = c: s'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
  • xn + yn = zn: per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
  • x2n y2 = 1: anomenada equació de Pell. Té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
  • \sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c, on n \geq 3 i c \neq 0: s'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Equació diofàntica Modifica l'enllaç a Wikidata

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. «1». A: Àlgebra Lineal i Geometria. 4a ed.. ISBN 84-7488-943-X.