Equació diofàntica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970 Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

Equació diofàntica de primer ordre[modifica | modifica el codi]

És una equació de la forma \, ax + by = c , i només té solució si \,\mathrm{m.c.d.} (a,b) | c (és a dir, si el màxim comú divisor d'\,a i \,b també divideix a \,c).

Resolució general[modifica | modifica el codi]

Les solucions d'aquesta equació són:

x = r c^{\prime} - t b^{\prime}
y = s c^{\prime} + t a^{\prime}

On a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime} representen \,a/d, b/d, c/d sent \, d = \mathrm{m.c.d.}(a,b). \,r i \,s són les solucions enteres de l'equació \,1 = a' r + b' s .


Exemple[modifica | modifica el codi]

A continuació resoldrem l'equació \,27x + 51y = 111. En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que si que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout \,\frac{27}{3} r + \frac{51}{3} s = 1, d'on trobem una solució immediata que és r=2, \; s=-1. Per tant, la solució general serà:

x = 2\cdot 37 - 17t
y = -1\cdot 37 + 9t

Alguns exemples[modifica | modifica el codi]

  • ax + by = c: S'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
  • xn + yn = zn: Per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
  • x2n y2 = 1: Anomenada equació de Pell. Té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
  • \sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c, on n \geq 3 i c \neq 0: S'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.

Referències[modifica | modifica el codi]

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. «1». A: Àlgebra Lineal i Geometria. 4a. Edició. ISBN 84-7488-943-X.