Esponja de Menger

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Esponja de Menger.

En matemàtiques, l'esponja de Menger (de vegades dita cub de Menger o bé cub o esponja de Menger-Sierpiński o de Sierpiński) és un conjunt fractal descrit per primera vegada en el 1926 per Karl Menger[1] mentre explorava el concepte de dimensió topològica.[2]

Igual que la catifa de Sierpinski constitueix una generalització bidimensional del conjunt de Cantor, es tracta d'una generalització tridimensional d'ambdós. Comparteix amb aquestes moltes de les seves propietats, sent un conjunt de mesurament compacte, no numerable i de zero-Lebesgue. La dimensió fractal de Hausdorff és

D H = log 20/log 3 ≈ 2,7268 {displaystyle d _ {H} = log 20/ log 3  aprox 2,7268}

L'esponja té una superfície infinita i al mateix temps conté un volum zero.

Cal destacar la seva propietat de corba universal, ja que és un conjunt topològic de la dimensió topològica un, i qualsevol altra corba o Graf és homeomorfo a un subconjunt de l'esponja Menger.[3]

Construcció[modifica]

La construcció es realitza de forma recursiva:

  1. S'inicia amb un cub (primer cub)
  2. Es divideix a cada costat del cub en 9 quadrats. Això subdivideix el cub en 27 cubs més petits, com un cub de Rubik.
  3. S'eliminen els cubs centrals de cada cara (6) i el cub central (1) són eliminats, deixant només 20 cubs (segon cub).
  4. Els passos 1, 2 i 3 tornen a repetir-se per a cadascun dels vint cubs restants, i així successivament.

L'esponja de Menger és el límit d'aquest procés, quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit.

Esponja de Menger, quatre primers nivells de la construcció.

Fractals similars[modifica]

Un cub de Jerusalem és un objecte fractal descrit per Eric Baird el 2011. És creat per recursivament perforació forats grecs en forma de creu en un cub.[4][5] el nom prové d'una cara del cub que s'assembla a un patró de la Creu de Jerusalem.

La construcció del cub de Jerusalem es pot descriure de la següent manera:

  1. Comenceu amb un cub.
  2. Talleu una creu a través de cada costat del cub, deixant vuit cubs (de rang + 1) a les cantonades del cub original, així com dotze cubs més petits (de rang + 2) centrat en les vores del cub original entre cubs de rang + 1. Repetiu el procés en els cubs de la fila 1 i 2.

Propietats[modifica]

L'etapa número n de la esponja de Menger, Mn, es compon de 20n cubs més petits, cadascun amb una longitud lateral de (1/3)n. El volum total de Mn és, per tant, (20/27)n.

La superfície total de Mn està donada per l'expressió 2(20/9)n + 4(8/9)n.[6][7] Per tant, el volum de la construcció s'acosta a zero, mentre que la seva àrea de superfície augmenta sense enquadernat. No obstant això, qualsevol superfície escollida en la construcció serà minuciosament perforada a mesura que la construcció continua, de manera que el límit no és ni un sòlid ni una superfície; té una dimensió topològica d'1 i és consegüentment identificada com una corba.

Cada rostre de la construcció es converteix en una catifa de Sierpinski, i la intersecció de l'Esponja amb qualsevol Diagonal del cub o qualsevol línia mitjana de les cares és un conjunt de Cantor. La secció transversal de l'Esponja a través del seu centívol i perpendicular a un espai Diagonal és un hexàgon regular perforat amb hexagrams disposats en sis vegades de simetria. El nombre d'aquests hexagrames, de mida descendent, és donat per

, on .[8]

La dimensió de l'esponja de Hausdorff és

log 20/log 3 ≅ 2,727

La dimensió de cobertura de Lebesgue de l'esponja de Menger és un, igual que qualsevol corba. Menger va mostrar, en la construcció de 1926, que l'esponja és una corba universal, en què cada corba [ru] és homeomorfa a un subconjunt de l'esponja de Menger, on una corba significa qualsevol espai compacte mètric de Lebesgue que cobreix la dimensió un; Això inclou arbres i gràfics amb un nombre comptable arbitrari d'arestes, vèrtexs i bucles tancats, connectats de manera arbitrària. De manera similar, la catifa de Sierpinski és una corba universal per a totes les corbes que es poden traçar en el pla bidimensional. L'esponja de Menger construïda en tres dimensions estén aquesta idea a les gràfiques que no són planar, i podrien estar incrustades en qualsevol nombre de dimensions.

L'esponja de Menger és un conjunt tancat; ja que també està limitat, el teorema de Heine-Borel implica que és compacte. Té la mesura de Lebesgue 0. Com que conté camins continus, és un conjunt incomptable.

Referències[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Esponja de Menger
  1. Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. Traducció anglesa reimpresa al Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  2. Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  3. Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  4. «"Cross Menger (Jerusalem) Cube Fractal» (en en). Robert Dickau, 23-05-2019, pàg. http://scienceres-edcp-educ.sites.olt.ubc.ca/files/2012/08/sec_math_geometry_menger.ppt.
  5. «"The Jerusalem Cube» (en en). Eric Baird, 23-05-2019, pàg. http://alt-fractals.blogspot.com/2011/08/jerusalem-cube.html.
  6. «Volume and Surface Area of the Menger Sponge - Wolfram Demonstrations Project» (en anglès). [Consulta: 13 juny 2019].
  7. «Mathematics Geometry: Menger Sponge Menger sponge» (en en). University of British Columbia Science and Mathematics Education Research Group, 23-05-2019, pàg. http://scienceres-edcp-educ.sites.olt.ubc.ca/files/2012/08/sec_math_geometry_menger.ppt.
  8. «A299916 - OEIS».