Funció de recompte de nombres primers

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
Funció de recompte de nombres primers fins a n = 60.

La funció de recompte de nombres primers és la funció que, per un nombre real donat compta la quantitat de nombres primers menors o iguals que [1] (i sempre es denota així, encara que no té res que veure amb el nombre ). És una funció que no és contínua, ja que és esglaonada, com es pot comprovar fàcilment:

(1) = 0 (no hi ha primers ≤ 1)
(2) = 1 (l'únic primer ≤ 2 és el 2)
(3) = 2 (els primers ≤ 3 són 2 i 3)
(4) = 2 (id.)
(5) = 3 (els primers ≤ 5 són 2, 3 i 5)
...
(10) = 4 (els primers ≤ 10 són 2, 3, 5 i 7)
...

Teorema dels nombres primers[modifica]

Un dels resultats més importants de la teoria de nombres és que el valor de s'aproxima assimptòticament al de quan tendeix a infinit.[2] És a dir:

Cal notar que això no significa que la diferència entre i s'aproximi a zero (de fet no ho fa!) sinó que el seu quocient s'aproxima a 1. Però l'error relatiu que es comet quan es pren en lloc de , sí que s'aproxima a zero quan . Aquest resultat, conjecturat per primera vegada per Gauss, s'anomena teorema dels nombres primers. Després de molts intents de demostració, els matemàtics Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin n'aconseguiren, independentment, una demostració definitiva.

Si reexpressem la relació anterior com

la podem interpretar com que la densitat mitjana de nombres primers dins dels nombres enters es fa cada cop més petita, i s'aproxima a a mesura que augmenta.

Referències[modifica]

  1. Eric., Bach,. Algorithmic number theory. Cambridge, Mass.: MIT Press, ©1996-. ISBN 0262024055. 
  2. 1874-1954,, Dickson, Leonard E. (Leonard Eugene),. History of the theory of numbers. Volume I, Divisibility and primality. ISBN 0486442322.