Funció de recompte de nombres primers

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Funció de recompte de nombres primers fins a n = 60.

La funció de recompte de nombres primers és la funció π(x) que, per a una x determinada proporciona la quantitat de nombres primers menors o iguals a x. És una funció contínua però no diferenciable, ja que és esglaonada, com es pot comprovar fàcilment:

π(1) = 0 (no hi ha primers ≤ 1)
π(2) = 1 (l'únic primer ≤ 2 és el 2)
π(3) = 2 (els primers ≤ 3 són 2 i 3)
π(4) = 2 (id.)
π(5) = 3 (els primers ≤ 5 són 2, 3 i 5)
...
π(10) = 4 (els primers ≤ 10 són 2, 3, 5 i 7)
...

Teorema dels nombres primers[modifica | modifica el codi]

Un dels resultats més importants de la teoria de nombres és que el valor de π(x) s'aproxima assimptòticament al de x/ln x quan x tendeix a infinit. És a dir:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}

Cal notar que això no significa que la diferència entre π(x) i x/ln x s'aproximi a zero (de fet no ho fa!) sinó que el seu quocient s'aproxima a 1. Aquest resultat, conjecturat per primera vegada per Gauss, s'anomena teorema dels nombres primers. Després de molts intents fallits de demostració, els matemàtics Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin n'aconseguiren, independentment, una demostració definitiva.

Si reexpressem la relació anterior com

\frac{\pi(x)}{x}\sim\frac{1}{\ln x}

la podem interpretar com que la densitat mitjana de nombres primers dins dels nombres enters s'aproxima a 1/lnx a mesura que x augmenta.