Gradient (matemàtiques)

En les dues imatges, els valors de la funció es representen en blanc i negre. El negre representa valors más alts i el seu gradient corresponent es representa amb fletxes blaves.

En càlcul vectorial, el gradient $\nabla f$ d'un camp escalar $f$ és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla $\nabla$ seguit de la funció.

Definició

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

${\frac {\partial \phi }{\partial n}}=({\rm {grad\phi )\cdot {\hat {n}}}}$

on ${\hat {n}}$ és un vector unitari i $\partial \phi /\partial n$ la derivada direccional de $\phi$ en la direcció de ${\hat {n}}$ (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

${\frac {\partial \phi }{\partial n}}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi ({\vec {r}}+\epsilon {\hat {n}})-\phi ({\vec {r}})}{\epsilon }}$

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dona el diferencial del camp escalar

$d\phi =\phi \left({\vec {r}}+d{\vec {r}}\right)-\phi \left({\vec {r}}\right)=\nabla \phi \cdot d{\vec {r}}$

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

${\rm {grad}}\phi =\nabla \phi$

Propietats

El gradient verifica que:

• És ortogonal a les superfícies definides per $\phi \,\!$ = constant.
• Apunta en la direcció en què la derivada direccional és màxima.
• El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.
• S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.
• El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, $\nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}$

Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

$\nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}$

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

$\nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}$

Per coordenades cilíndriques ($h_{\rho }=h_{z}=1$, $h_{\varphi }=\rho$) resulta

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$

i finalment per coordenades esfèriques ($h_{r}=1$, $h_{\theta }=r$, $h_{\varphi }=r{\rm {sin}}\theta$)

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sin}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}$

Exemple

Donada la funció $\phi =2x+3y^{2}-\sin(z)$, el seu gradient associat és:

$\nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.$

Vegeu també

• Divergència