Graf (estructura de dades)

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Un graf amb tres vèrtexs i tres arestes

En ciències de la computació, un graf és un tipus abstracte de dades que implementa els conceptes matemàtics de graf no dirigit i graf dirigit.

Una estructura de dades de graf consisteix d'un conjunt finit (i possiblement alterable) de vèrtexs o nodes o punts, juntament amb un conjunt de parells no ordenats d'aquests vèrtexs, en el cas d'un graf no dirigit, o un conjunt de parells ordenats de vèrtexs, en el cas d'un graf dirigit. Aquests parells reben el nom d'arestes, arcs o línies en el cas d'un graf no dirigit, o fletxes, arestes dirigides, arcs dirigits o línies dirigides en el cas d'un graf dirigit. Els vèrtexs poden formar part del graf, o poden ser entitats externes representades per índexs enters o referències.

Una estructura de dades de graf també pot assignar a cada aresta un valor, com per exemple una etiqueta simbòlica o un atribut numèric (cost, capacitat, longitud, etc.).

Operacions[modifica]

Les operacions bàsiques sobre una estructura de dades de graf G inclouen:[1][2]

  • adjacent(G, x, y): comprova si existeix una aresta des del vèrtex x cap al vèrtex y.
  • veïns(G, x): llista tots els vèrtexs y tals que existeix una aresta des del vèrtex x cap al vèrtex y.
  • afegeix_vèrtex(G, x): afegeix el vèrtex x, si encara no existeix.
  • elimina_vèrtex(G, x): elimina el vèrtex x, si existeix.
  • afegeix_aresta(G, x, y): afegeix l'aresta des del vèrtex x cap al vèrtex y, si encara no existeix.
  • elimina_aresta(G, x, y): elimina l'aresta des del vèrtex x cap al vèrtex y, si existeix.
  • obté_valor_vèrtex(G, x): recupera el valor associat al vèrtex x.
  • estableix_valor_vèrtex(G, x, v): modifica el valor associat al vèrtex x per tal que sigui v.

Les estructures que associen valors a les arestes també acostumen a incloure les següents operacions:[1][2]

  • obté_valor_aresta(G, x, y): recupera el valor associat amb l'aresta (x, y).
  • estableix_valor_aresta(G, x, y, v): modifica el valor associat a l'aresta (x, y) per tal que sigui v.

Representacions[modifica]

A la pràctica, es poden utilitzar diferents estructures de dades per a la representació de grafs:

Llista d'adjacència[3][4]
Els vèrtexs s'emmagatzemen com a registres o objectes, i cada vèrtex emmagatzema una llista de vèrtexs adjacents. Aquesta estructura de dades permet l'emmagatzematge als vèrtexs d'informació addicional. Encara s'hi pot dipositar més informació, si les arestes també s'emmagatzemen com a objectes; en tal cas, cada vèrtex té la informació de quines arestes hi són incidents, i cada aresta té la informació de quins vèrtexs hi són incidents.
Matriu d'adjacència[5][6]
Matriu bidimensional, en la qual les files representen els vèrtexs origen i les columnes representen els vèrtexs destí. Cal emmagatzemar en una altra estructura la informació dels vèrtexs i de les arestes. Entre cada parell de vèrtexs només es pot emmagatzemar el cost d'una aresta.
Matriu d'incidència[7]
Una matriu bidimensional amb entrades booleanes, on les files representen els vèrtexs i les columnes representen les arestes. Les entrades indiquen si el vèrtex de la fila és incident a l'aresta de la columna.

La següent taula proporciona informació sobre el cost en temps de diverses operacions sobre grafs, on |V| és el nombre de vèrtexs i |E| és el nombre d'arestes.[cal citació] En les representacions matricials, les entrades contenen el cost de resseguir una aresta. S'assumeix que el cost per a les arestes que no estan presents és ∞.

Llista d'adjacència Matriu d'adjacència Matriu d'incidència
Emmagatzemar graf
Afegir vèrtex
Afegir aresta
Eliminar vèrtex
Eliminar aresta
Consulta: els vèrtexs x i y són adjacents? (suposant que es coneixen les seves posicions d'emmagatzematge)
Observacions Lent per eliminar vèrtexs i arestes, perquè necessita trobar tots els vèrtexs o arestes Lent per afegir o eliminar vèrtexs, perquè cal redimensionar/copiar la matriu Lent per afegir o eliminar vèrtexs i arestes, perquè cal redimensionar/copiar la matriu

Les llistes d'adjacència representen de forma eficient els grafs dispersos. Si el graf és dens, és més eficient utilitzar una matriu d'adjacència, és a dir, quan el nombre d'arestes |E| és proper al quadrat del nombre de vèrtexs, |V|2; també s'utilitzen matrius d'adjacència si es necessita verificar ràpidament si existeix una aresta que connecta dos vèrtexs.[8][9]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 Goodrich & Tamassia 2015, p. 360, Secció 13.1.2: Operations on graphs
  2. 2,0 2,1 Mehlhorn, K.; Näher, S. «Chapter 6: Graphs and their data structures». A: LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing. Cambridge University Press, 1999, p. 240–282. 
  3. Cormen et al., 2001, p. 528–529.
  4. Goodrich; Tamassia, 2015, p. 361-362.
  5. Cormen et al., 2001, p. 529–530.
  6. Goodrich; Tamassia, 2015, p. 363.
  7. Cormen et al. 2001, p. 531, Exercise 22.1-7
  8. Cormen et al. 2001, p. 527–531, Section 22.1: Representations of graphs
  9. Goodrich & Tamassia 2015, pàg. 355–364, Section 13.1: Graph terminology and representations

Bibliografia[modifica]

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]