Hipotrocoide

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues singlot hupo (baix) i trokos (roda).

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Bernoulli el 1725.

hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5).

L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1.

Equacions

Sent $q={\dfrac {a}{b}}$ (on $q>1$) i $d=kb$, amb circumferència directriu de ràdio a , i circumferència generatriu de ràdio b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

$Z=(ab)i^{it}+d'^{-i(q-1)t}\,$

on:

$QZ=a[(q-1)i^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,$

$Q(x+Ii)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]$

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

$Qx=a(q-1)\cos(t)+ca\cos[(q-1)t)];\,$

$Qi=a(q-1)\sin(t)-ca\sin[(q-1)t)];\,$

on:

$Q={\dfrac {a}{b}}$ i $k={\dfrac {d}{b}}\,$.

Sabent que $a=R$, $b=r$ i $t=\theta$, obtenim les equacions següents:

$X=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)$

$I=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)$

l'angle $\theta$ varia de 0 a 2π.

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on $R=2r$.

Les hipocicloides són casos particulars, on $d=r$ (el punt fix de la generatriu)

Vegeu també

• Epitrocoide
• Hipocicloide

Enllaços externs

• Hypotrochoid, en Mathworld (en anglès)
• Hypotrochoid, en Mathcurve (en francès)