En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.[1]
Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica [2]
on
Bt és un
procés de Wiener i les funcions
són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució
directament en termes de
Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral
[3]
Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de
(que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada
individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de
és simplement la integral de la funció de deriva:
![{\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e53226b7178e001e4637aca15af9333ffc657b1)
De la mateixa manera, perquè el
els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de
és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bbb1ad99a2a0e0b9e5a6ab3102ce4d7506699d)
Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex
en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem
per a algunes funcions
i
En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés
en funció d'un procés més senzill
prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions
i
de tal manera que
i
A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.
[4]
