En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.[1]
Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica [2]
![{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaeb2a54639f5491609caf70cbe3e44248fb614)
on
Bt és un
procés de Wiener i les funcions
![{\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f08d384413e326d501bb450895503506ddd1718)
són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució
![{\displaystyle X_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3)
directament en termes de
![{\displaystyle B_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea07cd95f754eaaf9246808e93e04304a514c09)
Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral
[3]
![{\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b32cba6ab42d0689ea5341d292b1944c66bfa35)
Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de
![{\displaystyle X_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3)
(que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada
![{\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec11266edb7add8c042c3fb399ba7b9d002f71c4)
individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de
![{\displaystyle X_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3)
és simplement la integral de la funció de deriva:
![{\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e53226b7178e001e4637aca15af9333ffc657b1)
De la mateixa manera, perquè el
![{\displaystyle dB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9b6619889f7d96804d1886e3bef9d0d8f17a26)
els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de
![{\displaystyle X_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3)
és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bbb1ad99a2a0e0b9e5a6ab3102ce4d7506699d)
Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex
![{\displaystyle Y_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085119a1393e6e68c392c4dc7eb93668c8a3fa6d)
en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem
![{\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18915e1e1a1b781e0075153cf5321bca1e30421f)
per a algunes funcions
![{\displaystyle a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07)
i
![{\displaystyle a_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24778756c9d100e99a19f1853528aef6819bf5a6)
En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés
![{\displaystyle Y_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95734a78eb8407939c3496cbfd92763ced1e41e1)
en funció d'un procés més senzill
![{\displaystyle X_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3)
prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions
![{\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557fd73b1bb5526e0d3dc72ed59c821ff82a9b75)
i
![{\displaystyle \sigma _{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b1ee7eedc6da0952864f8bf9f35fda950d46aa)
de tal manera que
![{\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db44d1aad5a99e9e9f41fe14d0bf4412ce65dd52)
i
![{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d9a04f52ab741915dff355c27414f5ac7925f)
A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.
[4]