De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Les matrius de Pauli deuen el seu nom a Wolfgang Ernst Pauli . Són matrius usades en física quàntica en el context del moment angular intrínsec o espín .
Matemàticament, les matrius de Pauli constitueixen una base vectorial de l'àlgebra de Lie del grup especial unitari SU (2), actuant sobre la representació de dimensió 2.
Forma de les matrius [ modifica ] Compleixen les regles de commutació de l'àlgebra de Lie
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
[
σ
i
,
σ
j
]
=
2
i
ϵ
i
j
k
σ
k
{\displaystyle \left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\ \epsilon _{ijk}\ \sigma _{k}}
En què:
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}\;}
Símbol de Levi-Civita (pseudotensor totalment antisimètric).També satisfan la següent regla de anticommutació:
{
σ
i
,
σ
j
}
=
σ
i
σ
j
+
σ
j
σ
i
=
2
δ
i
j
I
{\displaystyle \left\{\sigma _{i},\sigma _{j}\right\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\ }
Altres propietats importants són:
σ
x
2
=
σ
y
2
=
σ
z
2
=
(
1
0
0
1
)
=
I
{\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
det
(
σ
i
)
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {det} (\sigma _{i})=-1}
Tr
(
σ
i
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0}
Cas d'espín 1/2 [ modifica ] Les matrius de Pauli són tres, igual que la dimensió de l'àlgebra del Lie del grup SU (2). La seua representació lineal més comú té la següent forma:
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
Per abús de llenguatge se sol anomenar matrius de Pauli a altres representacions lineals diferents a les usades en el cas d'espín 1/2 anterior. Per exemple, per representar l'espín d'una partícula amb valor 1, es fa servir la representació lineal mitjançant matrius de 3x3, com es mostra en els casos següents:
J
x
=
ℏ
2
(
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)
J
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
0
i
0
−
i
0
i
0
)
J
z
=
ℏ
(
1
0
0
0
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}
Cas d'espín 3/2 [ modifica ] Anàlogament al cas anterior, per espín 3/2 és comú usar la següent representació:
J
x
=
ℏ
2
(
0
3
0
0
3
0
2
0
0
2
0
3
0
0
3
0
)
J
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
3
0
0
i
3
0
−
2
i
0
0
2
i
0
−
i
3
0
0
i
3
0
)
J
z
=
ℏ
2
(
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
3
)
{\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}}
Les matrius de Pauli tenen gran utilitat en mecànica quàntica . L'aplicació més coneguda és la representació de l'operador d'espín per a una partícula d'espín 1/2, com un electró , un neutró o un protó . Així l'observable que serveix per mesurar l'espín, o moment angular intrínsec, d'un electró a l'adreça i ve donat per l'operador autoadjunt :
S
^
i
=
ℏ
2
σ
i
{\displaystyle {\hat {S}}_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}}
En la representació convencional, els autoestables d'espín corresponen als vectors:
{
|
↑
⟩
=
(
1
,
0
)
;
|
↓
⟩
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \left\{|\uparrow \rangle =(1,0);|\downarrow \rangle =(0,1)\right\}}
![{\displaystyle \left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\ \epsilon _{ijk}\ \sigma _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc74ba7f727f165ff3e0d9d7424420174040eaa)
