Símbol de Levi-Civita

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El símbol de Levi-Civita, també anomenat símbol de permutació és un símbol matemàtic, especialment utilitzat en càlcul tensorial. Rep el seu nom en honor de matemàtic i físic italià Tullio Levi-Civita.

Definició[modifica | modifica el codi]

Visualització del símbol de Levi-Civita.

En tres dimensions el símbol de Levi-Civita es defineix de la forma següent:

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{si} (i,j,k) \mbox{ és } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2), \\
-1 & \mbox{si} (i,j,k) \mbox{ és } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3), \\
0 & \mbox{si no: }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i,
\end{cases}

Per exemple, és 1 si (i, j, k) és la permutació parell de (1,2,3), −1 si és una permutació imparell, i 0 si no es repeteix cap índex. Per exemple, en àlgebra lineal, el determinant d'una matriu A de 3x3 es pot escriure


\det A = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}
(i de manera general per a qualsevol matriu quadrada, vegeu més endavant)

i el producte vectorial de dos vectors es pot escriure com un determinant:


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

o de manera més simple:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k

D'acord amb la notació d'Einstein, el símbol del sumatori pot ser omès. El tensor els components del qual vénen donats pel símbol de Levi-Civita (un tensor covariant de rang 3) de vegades rep el nom de tensor de permutació. Actualment se'l considera un pseudovector perquè sota una transformació ortogonal del determinant jacobià -1 (per exemple, una rotació composta amb una reflexió), dóna -1. Com que el símbol de Levi-Civita és un pseudotensor, el resultat de fer el producte vectorial és un pseudovector, no un vector.

Relació amb la delta de Kronecker[modifica | modifica el codi]

El símbol de Levi-Civita és relacionat amb la delta de Kronecker. En tres dimensions la relació ve donada per les següents equacions:


\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\
\end{vmatrix}
 = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,

\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
("contracció de la identitat epsilon")

\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

Generalització per n dimensions[modifica | modifica el codi]

El símbol de Levi-Civita es pot generalitzar per a matrius de dimensions més grans:

\varepsilon_{ijk\ell\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ es una permutacio parell de } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ es una permutacio senar de } (1,2,3,4,\dots) \\
0 & \mbox{si alguns dels indexs son iguals}
\end{matrix}
\right.

Així, tindrem la signatura de permutació en el cas d'una permutació, i zero si no hi és.

A més es pot representar com


\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!

que sempre es verificarà en n dimensions. En una notació tensorial d'índex lliure, el śimbol de Levi-Civita es reemplaça pel concepte de dualitat de Hodge. En general per a n dimensions el producte de dos símbols de Levi-Civita el podem escriure com:

 \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \det \begin{vmatrix}
\delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\
\delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\
\delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\end{vmatrix} .

Ara podem contraure els índexs m, això afegirà un factor m! al determinant i haurem d'ometre el delta de Kronecker.