Nombre decimal periòdic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els nombres decimals periòdics són aquells nombres en els quals la seva part decimal és inexacta i infinita, l'últim nombre no s'acaba mai. Els nombres decimals periòdics es representen afegint al període el símbol periòdic(). Amb els nombres decimals periòdics resulta impossible calcular operacions matemàtiques exactes, per tant s'ha de transformar el nombre en una fracció per després calcular-ne el resultat.

El nombre periòdic és un nombre racional caracteritzat per tenir un període (xifres que es repeteixen indefinidament) en la seva representació decimal. Aquest període pot ser un únic número, com en 1/3 = 0. 3 333 ..., o una sèrie de números, com a 1/7 = 0. 142857 142857 ... . El període es pot expressar escrivint un arc sobre de la xifres o conjunt de xifres en repetició, per exemple , amb més d'una xifra i amb un període no immediat després de la coma

Fracció generatriu d'un nombre periòdic[modifica | modifica el codi]

Per fer una fracció igual a un nombre periòdic (fracció generatriu), primer cal diferenciar entre dos tipus:

  • Nombre periòdic pur: Quan immediatament després de la coma hi ha una o més xifres periòdiques. Per obtenir una fracció d'aquests números, seguim aquests passos:
    • Imaginem que el nombre decimal, amb la seva xifra periòdica no ho és, així, multipliquem per 1 seguit de tants zeros com nombres decimals hagin quedat ( , quedaria així: . Hem multiplicat aquest número per 10.000, després tornem a posar el període)
    • Fem una mena de resta:

10.000 x - x = 9.999 x


Posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador, de manera que ens quedaria com fracció generatriu:

.

  • Nombre periòdic mixt: Quan no immediatament després de la coma hi ha una o més xifres periòdiques. Per obtenir una fracció d'aquests números, seguim aquests passos:
    • Primer multipliquem per 1 seguit de tants zeros com nombres decimals hagi abans del primer número periòdic.
    • Després fem el mateix que amb el número periòdic mixt, multipliquem i ja tenim el número amb el que anem a treballar. Seria així:

, primer multipliquem per 10 (), a continuació multipliquem el període per 100 (). I repetim el mateix procés que amb l'exemple anterior, però amb una modificació, per a trobar el minuend de la "resta", multipliquem les 2 xifres seguides de zero (en aquest cas, 100 i 10) i després al resultat, li restem l' més petit (10). Pel que quedaria així:

1.000 x - 10 x = 990 x

Igual que abans, posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador. Per tant, ens quedaria com fracció generatriu:

    • Una altra manera de fer aquest procediment de manera més senzilla és escrivint tots els dígits sense la coma decimal, (En , = 657876, a aquest nombre li restem la part del nombre no periòdica = 657876-65 (tot això seria el numerador, per al denominador posem un nou si és periòdic pur o un 90 si és periòdic mixt.
    • Donada una fracció irreductible (és a dir, en la qual numerador i denominador són primers entre si, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si és periòdica pura, mixta o exacta, sense fer la divisió:
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests són només el 2 i/o el 5, serà exacta:
   Per exemple 7/20, com 20 = 2 * 2 * 5, serà exacta, en efecte és 7/20 = 0,35
   Per exemple 7/25, com 25 = 5 * 5, serà exacta, en efecte és 7/25 = 0,28
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:
   Per exemple 5/21, com 21 = 3 * 7, serà periòdica pura, en efecte és 5/21 = 0,238095 238095 238095 ....
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests contenen al 2 i/o al 5, ia més algun altre factor, serà periòdica mixta:
   Per exemple 5/42, com 42 = 2 * 3 * 7, serà periòdica mixta, en efecte és 5/42 = 0,1 190476 190476 190476 ....


Com obtenir un nombre decimal periòdic[modifica | modifica el codi]

Primer de tot definim dos conceptes:

  • Direm P al conjunt de xifres que es repeteixen, per exemple en 0,12312313, P valdrà 123
  • Direm N al nombre de xifres de P, en l'exemple anterior seria 3.

Així, per obtenir el nombre 0,123123123... farem la següent operació:

En l'exemple anterior seria:

Igual que un decimal recurrent, és un decimal en el que un dígit o un grup de dígits es repeteix infinites vegades. Qualsevol decimal periòdic es pot expressar sempre en la forma d'una fracció. Per tant, un decimal periòdic és un nombre racional.