Notació bra-ket

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La notació bra-ket ,[1][2] també coneguda com a notació de Dirac pel seu inventor Paul Dirac, és la notació estàndard per descriure els estats quàntics en la teoria de la mecànica quàntica. També pot ser utilitzada per denotar vectors abstractes i funcionals lineals en les matemàtiques pures. És així anomenada perquè el producte interior de dos estats és denotat pel "bracket angular" ( angle bracket , en anglès),  \langle \phi|\psi \rangle , consistint en una part esquerra,  \langle \phi|, anomenada el bra , i una part dreta, |\psi \rangle , anomenada el ket .[2]

Bra i kets[modifica | modifica el codi]

A mecànica quàntica, l'estat d'un sistema físic s'identifica amb un vector al espai de Hilbert complex,  \mathcal{H}. Cada vector s'anomena un ket , i es denota com |\psi \rangle . Cada ket |\psi \rangle té un bra dual, escrit com  \langle \psi|, això és una funcional lineal contínua de  \mathcal{H} als nombres complexos C , definit com

 \langle \psi|\rho \rangle = \bigg (|\psi \rangle \;, \;|\rho \rangle \bigg) per a tots els kets |\rho \rangle

per a tots els kets |\rho \rangle on () denota el producte interior definit en l'espai de Hilbert. La notació està justificada pel teorema de representació de Riesz, que estableix que un espai de Hilbert i la seva espai dual són isomètrica isomorf s. Així, cada bra correspon a exactament un ket , i viceversa.

Incident, la notació bra-ket pot ser utilitzada fins i tot si l'espai vectorial no és un espai de Hilbert. En qualsevol espai de Banach B , els vectors poden ser notats com kets i els funcionals lineals continus pels paraules . Sobre qualsevol espai vectorial sense topologia, es pot denotar els vectors amb kets i els funcionals lineals pels paraules . En aquests contextos més generals, el braket no té el significat d'un producte intern, perquè el teorema de representació de Riesz no s'aplica.

L'aplicació del bra  \langle \phi| l' ket |\psi \rangle dóna lloc a un nombre complex, que es denota:

 \langle \phi|\psi \rangle .

En mecànica quàntica, aquesta és l'amplitud de probabilitat perquè l'estat ψ colapse a l'estat φ.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Els paraules i kets es poden manipular de les maneres següents:

  • Donat qualsevol bra  \langle \phi| i ket |\psi_1 \rangle i |\psi_2 \rangle , i nombres complexos c 1 i c 2 , llavors, ja que els cores són funcionals lineals ,
 \langle \phi|\; \bigg (c_1|\psi_1 \rangle+C_2|\psi_2 \rangle \bigg) = C_1 \langle \phi|\psi_1 \rangle+C_2 \langle \phi|\psi_2 \rangle.
  • Donat qualsevol ket |\psi \rangle , cores  \langle \phi_1| i  \langle \phi_2|, i nombres complexos c 1 i c 2 , llavors, per la definició de l'addició i la multiplicació escalar de funcionals lineals,


 \bigg (c_1 \langle \phi_1|+C_2 \langle \phi_2|\bigg) \;|\psi \rangle = C_1 \langle \phi_1|\psi \rangle+C_2 \langle \phi_2|\psi \rangle.



c_1|\psi_1 \rangle+C_2|\psi_2 \rangle

és dual a  c_1^* \langle \psi_1|+C_2^* \langle \psi_2|.

  • Donat qualsevol bra  \langle \phi| i el ket |\psi \rangle , una propietat axiomàtica del producte intern dóna


 \langle \phi|\psi \rangle = \langle \psi|\phi \rangle^* .

Operadors lineals[modifica | modifica el codi]

Si A : HH és un operador lineal, es pot aplicar A al ket |\psi \rangle per obtenir el ket  (A|\psi \rangle) . Els operadors lineals són ubics en la teoria de la mecànica quàntica. Per exemple, s'utilitzen operadors lineals ermites per a representar quantitats físiques observables, com ara l'energia o el moment, mentre que els operadors lineals unitaris representen processos transformadors com la rotació o la progressió del temps. Els operadors poden també ser vistos com actuant en els paraules del costat dret . L'aplicació de l'operador A al bra  \langle \phi| dóna lloc al bra  (\langle \phi|A) , definit com a funcional lineal en H per la regla

 \bigg (\langle \phi|A \bigg) \;|\psi \rangle = \langle \phi|\; \bigg (A|\psi \rangle \bigg) .

Aquesta expressió s'escriu comunament com

 \langle \phi|A|\psi \rangle.

Una manera convenient de definir operadors lineals en H és donada pel producte exterior: si  \langle \phi| és un bra i |\psi \rangle és un ket, el producte extern


|\Phi \rang \lang \psi|

denota un operador que mapeja el ket |\rho \rangle al bra |\phi \rangle \langle \psi|\rho \rangle (on  \langle \psi|\rho \rangle és un escalar que multiplica el vector |\phi \rangle ). Una de les aplicacions del producte extern és per construir un operador de projecció o projector donat un ket |\psi \rangle de norma 1, la projecció ortogonal sobre el subespai generat per |\psi \rangle és


|\Psi \rangle \langle \psi|

Bras i kets compostos[modifica | modifica el codi]

Dos espais de Hilbert V i W poden formar un tercer espai  V \otimes W per producte tensorial. En mecànica quàntica, això s'utilitza per a descriure conjunts compostos. Si un conjunt es compon de dos subconjunts descrits per V i W respectivament, llavors l'espai de Hilbert del conjunt sencer és el producte tensorial dels dos espais. L'excepció a això és si els subconjunts són realment partícules idèntiques, en aquest cas, la situació és una mica més complicada.

Si |\psi \rangle és un ket en V i |\phi \rangle és un ket en W, el producte tensorial dels dos kets és un ket a  V \otimes W . Això s'escriu com


|\Psi \rangle|\phi \rangle o |\psi \rangle \otimes|\phi \rangle o |\psi \phi \rangle .

Les representacions en termes de paraules i kets[modifica | modifica el codi]

En mecànica quàntica, és sovint convenient treballar amb les projeccions dels vectors d'estat sobre una base particular, més aviat que amb els vectors mateixos. Aquest procés és molt similiar a l'ús de vectors coordinats en àlgebra lineal. Per exemple, l'espai de Hilbert de partícules puntuals de espín zero és generat per una base de posició  \lbrace|\mathbf{x}\rangle \rbrace , on l'índex x s'estén sobre el conjunt dels vectors de posició. Partint de qualsevol ket |\psi \rangle en aquest espai de Hilbert, es pot definir una funció escalar complexa de x , coneguda com funció d'ona

 \Psi (\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi \rang .

És llavors usual definir operadors lineals que actuen sobre funcions d'ones en termes d'operadors lineals que actuen en kets, com

 A \psi (\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi \rang .

Encara que l'operador A a la banda esquerra d'aquesta equació, per convenció, es etiqueta de la mateixa manera que l'operador en el costat dret, s'ha de considerar que els dos són entitats conceptualment diverses: el primer actua sobre funcions d'ones, i el segon actua sobre kets. Per exemple, l'operador de moment p té la forma següent

 \mathbf{p}\psi (\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\mathbf{p}|\psi \rang = - i \hbar \nabla \psi (x) .

Es troba de tant en tant una expressió com

 - I \hbar \nabla|\psi \rang .

Això és un abús de notació, encara que bastant comú. L'operador diferencial ha de ser entès com un operador abstracte, actuant en kets, que té l'efecte de diferenciar funcions d'ones un cop que l'expressió es projecta a la base de posició. Per a altres detalls, vegeu espai equipat de Hilbert.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Franck Lalo. Quantum Mechanics. vol.1. 3a. París: Hermann, 1977, p. 898. ISBN 0-471-16432-1. 
  2. 2,0 2,1 Muñoz Sudupe, A.; Sánchez del Río. Física Quàntica. vol.1. 3a. Gran Canaria: Piràmide, 2003, p. 1019. M. 40.469-2003. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]