Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

(la) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Tipus	obra escrita, tractat i obra acadèmica
Autor	Isaac Newton
Llengua	llatí
Publicació	Londres , 1687
Creació	1680
Tema	física clàssica, lleis de Newton i gravetat
Gènere	filosofia natural i mecànica clàssica
Representa l'entitat	lleis de Newton

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ('Principis matemàtics de la filosofia natural'), sovint abreujat també com els Principia o Principia Mathematica, és un llibre de ciència escrit per Isaac Newton. Publicat per primer cop el 1687, a instàncies del seu amic Edmond Halley; Newton hi descrivia els seus descobriments en física i càlcul matemàtic. Aquesta obra va marcar un punt d'inflexió en la història de la ciència.

La seva publicació s'havia retardat enormement per la por de Newton al fet que altres intentessin apropiar-se de les seves descobertes. Els tres llibres de l'obra contenen els fonaments de la física i l'astronomia, escrits en el llenguatge de la geometria pura. El “Llibre I” conté el mètode de les primeres i últimes raons i, en forma de notes, es troba com a annex del Llibre III la teoria de les fluxions. Encara que aquesta obra monumental li va aportar un gran renom, va resultar un treball difícil de llegir en l'actualitat a causa del llenguatge i to utilitzats. És per això que, en el càlcul diferencial, per exemple, és la notació de Leibniz la que s'ha anat imposant, més intuïtiva i que facilita els càlculs. La notació de Newton resulta més pesada.

En el camp de la mecànica, va recopilar la seva obra en descobriments de Galileo Galilei i va enunciar les tres lleis de Newton. D'aquestes, va poder deduir la força gravitatòria entre la Terra i la Lluna; i va demostrar que aquesta és directament proporcional al producte de les masses i inversament proporcional al quadrat de la distància, multiplicant aquest quocient per una constant anomenada constant gravitatòria universal. A més a més, va tenir la gran intuïció de generalitzar aquesta llei a tots els cossos de l'Univers, amb la qual cosa aquesta equació es va convertir en la llei de la gravitació universal.

L'exemplar de la primera edició que va pertànyer a Newton, que contenia anotacions i correccions manuscrites, està guardat a la Biblioteca Wren del Trinity College de Cambridge. També hi ha conservada una primera edició a la biblioteca del University College de Londres.

Va existir una polèmica dels Principia Mathematica relacionada amb qui havia estat l'inventor del càlcul, títol que es van disputar Newton i Leibniz. El cert és que, si bé Leibniz va publicar abans les seves idees, Newton havia elaborat tota la seva teoria molt abans, però trigà a publicar-la.

Contingut

Objectiu expressat i temes tractats

Retrat de Sir Isaac Newton (1643–1727), autor dels Principia, de Godfrey Kneller (1689)

El prefaci de l'obra diu:

«

.. La Mecànica Racional serà la ciència del moviment resultant de qualsevol força, i de les forces necessàries per produir qualsevol moviment, proposades i demostrades amb precisió... I per tant oferim aquesta obra com a principis matemàtics de la seva filosofia. Perquè tota la dificultat de la filosofia sembla consistir en això: des dels fenòmens dels moviments per investigar les forces de la Natura, i després des d'aquestes forces per demostrar els altres fenòmens...

»

Newton es situa dins del moviment científic contemporani que havia «omès les formes substancials i les qualitats ocultes» i, en canvi, s'esforçava per explicar el món mitjançant la investigació empírica i l'esbós de regularitats empíriques.

Els Principia tracten principalment de cossos massius en moviment, inicialment sota diverses condicions i lleis hipotètiques de força tant en medis resistents com no resistents, oferint així criteris per decidir, mitjançant observacions, quines lleis de força operen en fenòmens que es poden observar. Intenta abastar moviments hipotètics o possibles tant dels cossos celestes com dels projectils terrestres. Explora problemes difícils de moviments pertorbats per múltiples forces atractives. El seu tercer i últim llibre tracta de la interpretació de les observacions sobre els moviments dels planetes i els seus satèl·lits.

El llibre:

• mostra com les observacions astronòmiques verifiquen la llei de l'invers del quadrat de la gravitació (amb una precisió alta segons els estàndards de l'època de Newton);

• ofereix estimacions de masses relatives per als planetes gegants coneguts i per a la Terra i el Sol;

• defineix el moviment del Sol respecte al baricentre del Sistema Solar;

• mostra com la teoria de la gravetat pot explicar les irregularitats en el moviment de la Lluna;

• identifica l'aplatament de la forma de la Terra;

• explica aproximadament les marees marines, inclosos els fenòmens de les marees vives i baixes, per les atraccions gravitacionals pertorbadores (i variables) del Sol i la Lluna sobre les aigües de la Terra;

• explica la precessió dels equinoccis com un efecte de l'atracció gravitatòria de la Lluna sobre el bulb equatorial de la Terra; i

• dóna bases teòriques a nombrosos fenòmens sobre els cometes i les seves òrbites allargades i gairebé parabòliques.

Les primeres seccions dels Principia contenen, en forma revisada i ampliada, gairebé tot el contingut del tractat de Newton de 1684 De motu corporum in gyrum.

Els Principia comencen amb Definicions i Axiomes o lleis del moviment, i continuen en tres llibres:

Llibre 1, De motu corporum

El llibre 1, subtitulat De motu corporum (Sobre el moviment dels cossos), tracta del moviment en absència de qualsevol medi resistent. Comença amb una col·lecció de lemes matemàtics sobre el mètode de les primeres i últimes raons, una forma geomètrica de càlcul infinitesimal.

Demostració de Newton de la segona llei de Kepler, tal com es descriu al llibre. Si es considera una força centrípeta contínua (fletxa vermella) sobre el planeta durant la seva òrbita, l'àrea dels triangles definits per la trajectòria del planeta serà la mateixa. Això és cert per a qualsevol interval de temps fix. Quan l'interval tendeix a zero, la força es pot considerar instantània. (Feu clic a la imatge per obtenir una descripció detallada).

La segona secció estableix relacions entre les forces centrípetes i la llei de les àrees, ara coneguda com a segona llei de Kepler (Proposicions 1-3), i relaciona la velocitat circular i el radi de curvatura de la trajectòria amb la força radial (Proposició 4), i les relacions entre les forces centrípetes que varien com la inversa del quadrat de la distància al centre i les òrbites de forma de secció cònica (Proposicions 5-10).

Les proposicions 11–31 estableixen propietats del moviment en trajectòries de forma de secció cònica excèntrica, incloent-hi el·lipses, i la seva relació amb les forces centrals d'invers quadrat dirigides a un focus i inclouen el teorema de Newton sobre els ovals (lema 28).

Les proposicions 43–45 demostren que en una òrbita excèntrica sota força centrípeta on l'absis es pot moure, una orientació constant i immòbil de la línia d'absis és un indicador d'una llei de la força inversa del quadrat.

El llibre 1 conté algunes demostracions amb poca connexió amb la dinàmica del món real. Però també hi ha seccions amb una aplicació de gran abast al sistema solar i a l'univers:

Les proposicions 57–69 tracten del moviment dels cossos atrets entre si per forces centrípetes. Aquesta secció és de principal interès per la seva aplicació al Sistema Solar i inclou la Proposició 66 juntament amb els seus 22 corol·laris: aquí Newton va fer els primers passos en la definició i l'estudi del problema dels moviments de tres cossos massius subjectes a les seves atraccions gravitatòries mútuament pertorbadores, un problema que més tard va guanyar nom i fama (entre altres raons, per la seva gran dificultat) com el problema dels tres cossos.

Les proposicions 70–84 tracten les forces atractives dels cossos esfèrics. La secció conté la demostració de Newton que un cos massiu amb simetria esfèrica atrau altres cossos fora d'ell com si tota la seva massa estigués concentrada al seu centre. Aquest resultat fonamental, anomenat teorema de Shell, permet aplicar la llei inversa del quadrat de la gravitació al sistema solar real amb un grau d'aproximació molt proper.

Llibre 2, part 2 de De motu corporum

Part del contingut previst originalment per al primer llibre es va dividir en un segon llibre, que tracta principalment del moviment a través de medis resistents. De la mateixa manera que Newton va examinar les conseqüències de diferents lleis d'atracció concebibles al Llibre 1, aquí examina diferents lleis de resistència concebibles; així, la Secció 1 tracta la resistència en proporció directa a la velocitat, i la Secció 2 continua examinant les implicacions de la resistència en proporció al quadrat de la velocitat. A través del Llibre II, Newton va ser un pioner important de la mecànica de fluids, i una anàlisi posterior va mostrar que de les seves 53 proposicions gairebé totes són correctes, amb només dues o tres obertes a dubte. El Llibre 2 tracta (a la Secció 5) la hidroestàtica i les propietats dels fluids compressibles; també deriva la llei de Boyle (incorrectament; ja que un gas ideal no és com un fluid elàstic). Els efectes de la resistència de l'aire sobre els pèndols s'estudien a la Secció 6, juntament amb el relat de Newton dels experiments que va dur a terme, per intentar esbrinar algunes característiques de la resistència de l'aire a la realitat observant els moviments dels pèndols en diferents condicions. Newton compara la resistència que ofereix un medi contra els moviments de globus amb diferents propietats (material, pes, mida). A la secció 8, deriva regles per determinar la velocitat de les ones en fluids i les relaciona amb la densitat i la condensació (Proposició 48; això esdevindria molt important en acústica). Assumeix que aquestes regles s'apliquen igualment a la llum i al so i estima que la velocitat del so és d'uns 300 metres per segon i pot augmentar depenent de la quantitat d'aigua a l'aire.

Menys del Llibre 2 ha resistit la prova del temps que els Llibres 1 i 3, i s'ha dit que el Llibre 2 va ser escrit en gran part per refutar una teoria de Descartes que tenia una àmplia acceptació abans de l'obra de Newton (i durant un temps després). Segons la teoria dels vòrtexs de Descartes, els moviments planetaris es produïen pel remolí de vòrtexs fluids que omplien l'espai interplanetari i arrossegaven els planetes amb ells. Newton va concloure el Llibre 2 comentant que la hipòtesi dels vòrtexs estava completament en desacord amb els fenòmens astronòmics, i no servia tant per explicar-los com per confondre'ls.

Llibre 3, De mundi systemate

El llibre 3, subtitulat De mundi systemate (Sobre el sistema del món), és una exposició de moltes conseqüències de la gravitació universal, especialment les seves conseqüències per a l'astronomia. Es basa en les proposicions dels llibres anteriors i les aplica amb més especificitat que al llibre 1 als moviments observats al Sistema Solar. Aquí (introduït per la Proposició 22, i continuant a les Proposicions 25-35) es desenvolupen diverses de les característiques i irregularitats del moviment orbital de la Lluna, especialment la variació. Newton enumera les observacions astronòmiques en què es basa, i estableix de manera gradual que la llei del quadrat invers de la gravitació mútua s'aplica als cossos del Sistema Solar, començant pels satèl·lits de Júpiter i continuant per etapes per demostrar que la llei és d'aplicació universal. També dóna, començant pel Lema 4 i la Proposició 40, la teoria dels moviments dels cometes, per a la qual moltes dades provenen de John Flamsteed i Edmond Halley, i explica les marees, intentant estimacions quantitatives de les contribucions del Sol i la Lluna als moviments de les marees; i ofereix la primera teoria de la precessió dels equinoccis. El llibre 3 també considera l'oscil·lador harmònic en tres dimensions i el moviment en lleis de força arbitràries.

Al llibre 3, Newton també va deixar clara la seva visió heliocèntrica del Sistema Solar, modificada d'una manera una mica moderna, ja que ja a mitjans de la dècada de 1680 va reconèixer la desviació del Sol respecte al centre de gravetat del Sistema Solar. Per a Newton, el centre de gravetat comú de la Terra, el Sol i tots els planetes s'ha de considerar el Centre del Món, i que aquest centre o bé està en repòs, o bé es mou uniformement cap endavant en línia recta. Newton va rebutjar la segona alternativa després d'adoptar la posició que «el centre del sistema del món és immòbil», cosa que «tothom reconeix, mentre que alguns sostenen que la Terra, altres, que el Sol està fix en aquest centre». Newton va estimar les relacions de massa Sol:Júpiter i Sol:Saturn, i va assenyalar que aquestes situaven el centre del Sol normalment una mica allunyat del centre de gravetat comú, però només una mica, la distància com a màxim «amb prou feines equivaldria a un diàmetre del Sol«».

Comentari sobre els Principia

«

La quantitat de matèria és la que sorgeix conjuntament de la seva densitat i magnitud. Un cos dues vegades més dens en el doble d'espai és quàdruple en quantitat. Aquesta quantitat la designo amb el nom de cos o de massa.

»

La seqüència de definicions utilitzades per establir la dinàmica als Principia és recognoscible en molts llibres de text actuals. Newton va ser el primer a establir la definició de massa

«

Només he d'observar que el vulg no concep aquestes quantitats sota cap altra noció que la de la relació que tenen amb els objectes perceptibles. I serà convenient distingir-les en absolutes i relatives, veritables i aparents, matemàtiques i comunes... en comptes de llocs i moviments absoluts, fem servir de relatius; i això sense cap inconvenient en els afers comuns; però en les discussions filosòfiques, hauríem de fer un pas enrere dels nostres sentits i considerar les coses mateixes, diferents del que només són mesures perceptibles d'elles.

»

Això es va utilitzar per definir la "quantitat de moviment" (avui anomenada moment) i el principi d'inèrcia, en què la massa substitueix la noció cartesiana anterior de força intrínseca. Això va preparar l'escenari per a la introducció de forces a través del canvi de moment d'un cos. Curiosament, per als lectors d'avui, l'exposició sembla dimensionalment incorrecta, ja que Newton no introdueix la dimensió del temps en les taxes de canvi de quantitats.

A alguns lectors moderns els pot semblar que algunes quantitats dinàmiques reconegudes avui dia es van utilitzar als Principia però no es van anomenar. Els aspectes matemàtics dels dos primers llibres eren tan clarament consistents que es van acceptar fàcilment; per exemple, John Locke va preguntar a Christiaan Huygens si podia confiar en les demostracions matemàtiques i va obtenir la certesa de la seva correcció.

Tanmateix, el concepte d'una força atractiva que actua a distància va rebre una resposta més freda. A les seves notes, Newton va escriure que la llei de la inversa del quadrat va sorgir de manera natural a causa de l'estructura de la matèria. No obstant això, va retractar aquesta frase en la versió publicada, on afirmava que el moviment dels planetes és coherent amb una llei de la inversa del quadrat, però es va negar a especular sobre l'origen de la llei. Huygens i Gottfried Wilhelm Leibniz van assenyalar que la llei era incompatible amb la noció d’èter. Des d'un punt de vista cartesià, per tant, aquesta era una teoria errònia. La defensa de Newton ha estat adoptada des de llavors per molts físics famosos: va assenyalar que la forma matemàtica de la teoria havia de ser correcta, ja que explicava les dades, i es va negar a especular més sobre la naturalesa bàsica de la gravetat. El gran nombre de fenòmens que la teoria podia organitzar era tan impressionant que els "filòsofs" més joves aviat van adoptar els mètodes i el llenguatge dels Principia.