De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
En matemàtiques, els polinomis de Bernoulli
es defineixen mitjançant la funció generatriu:
![{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b292d4f856e353e2b068d4c8cd0dda9baf3b791)
Apareixen en l'estudi de nombroses funcions especials, en particular de l'funció zeta de Riemann i de la funció zeta de Hurwitz. Els nombres de Bernoulli
són els termes independents dels polinomis corresponents,
.
La identitat
ens permet donar una forma tancada de la suma
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i^{k}}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dee9c00ef944cc6b8a8651ce1e72c6eee52ab1)
Expressió explícita de polinomis de grau baix
[modifica]
![{\displaystyle B_{0}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9872db89470749143fb817f16f5d83ffd34da7cb)
![{\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb7f24e15f19d0cafcf4bfd32544f0684863ce4)
![{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc56150e3fdf89b62cbab3c1e7aba3e4b7f2ad7)
![{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2417f589f3ea143002c97faa5529955bfc9b57)
![{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed179b6ff941e63864d41e19fd28f5e24b3a9862)
![{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6993438423c5e9661c046d185d4be4d9c34c956)
.
- Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.