Problema d'escacs matemàtic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un problema d'escacs matemàtic és un problema matemàtic formulat fent servir un escaquer o peces d'escacs. Aquesta mena de problemes pertanyen a la matemàtica recreativa. Els més coneguts són el problema de les vuit dames o el problema del cavall, que estan connectats amb la teoria de grafs i la combinatòria. Molts matemàtics famosos han estudiat problemes d'escacs i matemàtica, com per exemple, Euler, Legendre i Gauss.[1] Més que trobar una solució a un problema particular, els matemàtics són sovint interessats a comptar el nombre total de possibles solucions, i en trobar-ne amb propietats concretes, així com en la generalització dels problemes en taulers de NxN caselles, o rectangulars.

Problemes d'independència[modifica | modifica el codi]

Els problemes d'independència són el grup de problemes següents: Donada una determinada peça d'escacs (dama, torre, alfil, cavall, o rei), cal trobar el màxim nombre d'aquestes peces que es poden situar en un escaquer de tal manera que cap de les peces n'ataqui una altra. També es requereix trobar un posicionament concret de les peces per a aquest màxim nombre. El més conegut d'aquest tipus de problemes és el de les vuit reines. Els problemes poden ser ampliats amb la pregunta de quantes possibles solucions existeixen. Una altra generalització seria plantejar el mateix problema, però per taulers de NxN caselles.

El nombre màxim de reis independents en un tauler de 8x8 és de 16, dames - 8, torres - 8, alfils - 14, cavalls - 32.[2] A continuació es mostren solucions per reis i alfils. Per obtenir 8 torres independents n'hi ha prou amb situar-les en una de les diagonals principals. Una solució per 32 cavalls independents seria situar-los en totes les caselles del mateix color.

Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 a7 rei blanc c7 rei blanc e7 rei blanc g7 rei blanc 7
6 6
5 a5 rei blanc c5 rei blanc e5 rei blanc g5 rei blanc 5
4 4
3 a3 rei blanc c3 rei blanc e3 rei blanc g3 rei blanc 3
2 2
1 a1 rei blanc c1 rei blanc e1 rei blanc g1 rei blanc 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
16 reis independents
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 b8 alfil blanc c8 alfil blanc d8 alfil blanc e8 alfil blanc f8 alfil blanc g8 alfil blanc 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 a1 alfil blanc b1 alfil blanc c1 alfil blanc d1 alfil blanc e1 alfil blanc f1 alfil blanc g1 alfil blanc h1 alfil blanc 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
14 alfils independents

Problemes de dominació[modifica | modifica el codi]

Una altra mena de problemes matemàtics d'escacs és el problema de dominació. En aquests problemes es requereix trobar el nombre mínim de peces de la mena donada, i situar-les al tauler de tal manera, que totes les caselles lliures quedin amenaçades com a mínim per una peça. El nombre mínim de reis per dominar el tauler és 9, dames - 5, torres - 8, alfils - 8, cavalls - 12. Per obtenir 8 torres dominants, hom les pot situar en una de les diagonals principals. Solucions per les altres peces són a continuació.

Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 b8 rei blanc e8 rei blanc h8 rei blanc 8
7 7
6 6
5 b5 rei blanc e5 rei blanc h5 rei blanc 5
4 4
3 3
2 b2 rei blanc e2 rei blanc h2 rei blanc 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
9 reis dominants
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 f7 dama blanca 7
6 c6 dama blanca 6
5 e5 dama blanca 5
4 g4 dama blanca 4
3 d3 dama blanca 3
2 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
5 dames dominants
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 d8 alfil blanc 8
7 d7 alfil blanc 7
6 d6 alfil blanc 6
5 d5 alfil blanc 5
4 d4 alfil blanc 4
3 d3 alfil blanc 3
2 d2 alfil blanc 2
1 d1 alfil blanc 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 alfils dominants
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 f7 cavall blanc 7
6 b6 cavall blanc c6 cavall blanc e6 cavall blanc f6 cavall blanc 6
5 c5 cavall blanc 5
4 f4 cavall blanc 4
3 c3 cavall blanc d3 cavall blanc f3 cavall blanc g3 cavall blanc 3
2 c2 cavall blanc 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
12 cavalls dominants

Els problemes de dominació es formulen de vegades amb el plantejament de trobar el nombre mínim de peces que ataquin totes les caselles del tauler, incloses les ocupades.[3] La solució per les torres és situar-les totes en la mateixa fila o en la mateixa columna. Solucions per les altres peces són a continuació.

Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 b7 rei blanc e7 rei blanc h7 rei blanc 7
6 b6 rei blanc e6 rei blanc h6 rei blanc 6
5 5
4 4
3 b3 rei blanc e3 rei blanc h3 rei blanc 3
2 b2 rei blanc e2 rei blanc h2 rei blanc 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
12 reis atacant totes les caselles
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 g8 dama blanca 8
7 7
6 e6 dama blanca 6
5 d5 dama blanca 5
4 c4 dama blanca 4
3 3
2 a2 dama blanca 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
5 dames atacant totes les caselles
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 7
6 b6 alfil blanc d6 alfil blanc e6 alfil blanc g6 alfil blanc 6
5 5
4 c4 alfil blanc d4 alfil blanc e4 alfil blanc f4 alfil blanc 4
3 3
2 c2 alfil blanc f2 alfil blanc 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
10 alfils atacant totes les caselles
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 8
7 c7 cavall blanc e7 cavall blanc f7 cavall blanc 7
6 c6 cavall blanc e6 cavall blanc 6
5 c5 cavall blanc g5 cavall blanc 5
4 c4 cavall blanc e4 cavall blanc 4
3 b3 cavall blanc c3 cavall blanc e3 cavall blanc f3 cavall blanc g3 cavall blanc 3
2 2
1 1
Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
14 cavalls atacant totes les caselles

Problemes de recorregut de peces[modifica | modifica el codi]

Aquesta mena de problemes pretenen buscar un recorregut per a una peça, de tal manera que visiti totes les caselles del tauler. El més conegut d'aquests problemes és el problema del cavall. A més a més del cavall, aquesta mena de recorreguts existeixen pel rei, dama i torres. Els alfils no són capaços d'arribar a totes les caselles del tauler, de manera que en el seu cas concret el problema es formula per assolir totes les caselles d'un color.[4]

Problemes de permutació[modifica | modifica el codi]

En problemes de permutació, una posició inicial s'ha de transformar en una altra.[5] Això s'hauria de fer fent només moviments legals en escacs, tot i que capturar una peça rival normalment no està permès. Dos d'aquestr problemes es mostren a continuació. En el primer, l'objectiu és canviar les posicions dels cavalls blancs i negres. Al segon, les posicions dels alfils s'han de permutar, amb una limitació addicional, que és que les peces enemigues no s'ataquin les unes a les altres.

a4 b4 c4 d4
a3 b3 c3 d3
a2 b2 c2 d2
a1 b1 c1 d1
Puzle de permutació de cavalls
a5 b5 c5 d5
a4 b4 c4 d4
a3 b3 c3 d3
a2 b2 c2 d2
a1 b1 c1 d1
Puzle de permutació d'alfils

Notes i referències[modifica | modifica el codi]

  1. Gik, p.11
  2. Gik, p.98
  3. Gik, p.101.
  4. Gik, p. 87
  5. Gik, p. 114.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]